Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Распределения 25
сти ϕ
k
→ 0 в D(Ω). Множество всех распределений на Ω обозначается
через D
0
(Ω).
Множество D
0
(Ω) является линейным пространством.
Определение 2.2. Последовательность распределений T
k
∈ D
0
(Ω)
сходится к распределению T ∈ D
0
(Ω) или, короче, T
k
→ T в D
0
(Ω), если
T
k
(ϕ) → T (ϕ) для всех ϕ ∈ D(Ω). Множество D
0
(Ω), наделенное такой
сходимостью, называется пространством распределений.
Пример 2.1. Пусть u ∈ L
1,loc
(Ω). Формулой
T
u
(ϕ) =
Z
Ω
u(x)ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ D(Ω) (1.1)
определим линейный функционал на пространстве пробных функций
D(Ω). Пусть {ϕ
k
} любая последовательность такая, что ϕ
k
→ 0 в D(Ω).
Тогда найдется компактное множество K такое, что supp ϕ
k
⊂ K для
любого k > 1, и ϕ
k
(x) → 0 равномерно на K. Поэтому
|T
u
(ϕ
k
)| 6 max
x∈K
|ϕ
k
(x)|
Z
K
|u(x)|dx → 0 (k → ∞).
Это означает, что T
u
∈ D
0
(Ω). Таким образом, всякая локально интегри-
руемая функция u по формуле (1.1) определяет обобщенную функцию
на Ω. Такие обобщенные функции называют регулярными. Часто в та-
ких случаях отождествляют функцию u и распределение T
u
.
Как показывает следующая теорема, соответствие между регулярны-
ми и локально интегрируемыми функциями, задаваемое формулой (1.1),
взаимнооднозначно на классах эквивалентных функций.
Теорема 2.1. Если u, v ∈ L
1,loc
(Ω) и T
u
= T
v
, то u(x) = v(x)
почти всюду в Ω.
Утвеждение этой теоремы очевидным образом следует из леммы 1.2,
поскольку
Z
Ω
(u(x) − v(x)) ϕ(x) dx = T
u
(ϕ) − T
v
(ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω).
§ 1. Распределения                                                  25


сти ϕk → 0 в D(Ω). Множество всех распределений на Ω обозначается
через D0 (Ω).
    Множество D0 (Ω) является линейным пространством.
    Определение 2.2. Последовательность распределений Tk ∈ D0 (Ω)
сходится к распределению T ∈ D0 (Ω) или, короче, Tk → T в D0 (Ω), если
Tk (ϕ) → T (ϕ) для всех ϕ ∈ D(Ω). Множество D0 (Ω), наделенное такой
сходимостью, называется пространством распределений.
    Пример 2.1. Пусть u ∈ L1,loc (Ω). Формулой
                        Z
                Tu (ϕ) = u(x)ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ D(Ω)                    (1.1)
                           Ω

определим линейный функционал на пространстве пробных функций
D(Ω). Пусть {ϕk } любая последовательность такая, что ϕk → 0 в D(Ω).
Тогда найдется компактное множество K такое, что supp ϕk ⊂ K для
любого k > 1, и ϕk (x) → 0 равномерно на K. Поэтому
                                   Z
          |Tu (ϕk )| 6 max |ϕk (x)| |u(x)|dx → 0 (k → ∞).
                     x∈K
                                K

Это означает, что Tu ∈ D0 (Ω). Таким образом, всякая локально интегри-
руемая функция u по формуле (1.1) определяет обобщенную функцию
на Ω. Такие обобщенные функции называют регулярными. Часто в та-
ких случаях отождествляют функцию u и распределение Tu .
   Как показывает следующая теорема, соответствие между регулярны-
ми и локально интегрируемыми функциями, задаваемое формулой (1.1),
взаимнооднозначно на классах эквивалентных функций.
   Теорема 2.1. Если u, v ∈ L1,loc (Ω) и Tu = Tv , то u(x) = v(x)
почти всюду в Ω.
   Утвеждение этой теоремы очевидным образом следует из леммы 1.2,
поскольку
     Z
       (u(x) − v(x)) ϕ(x) dx = Tu (ϕ) − Tv (ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω).
     Ω

Страницы