Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26 Глава 2. Пространства Соболева целого порядка
Пример 2.2. Пусть a ∈ Ω. Определим на D(Ω) линейный функци-
онал δ
a
, положив δ
a
(ϕ) = ϕ(a) для каждой пробной функции ϕ ∈ D(Ω).
Если ϕ
n
→ 0 в D(Ω) , то ϕ
n
(x) → 0 во всех точках x ∈ Ω. Следовательно,
δ
a
(ϕ
n
) = ϕ
n
(a) → 0. Таким образом, δ
a
является распределением на Ω,
которое называют дельта-функцией или функцией Дирака, сосредото-
ченной в точке a. Можно показать, что дельта-функцию нельзя пред-
ставить в интегральном виде (1.1), то есть она не порождается никакой
локально интегрируемой функцией. Однако легко построить последова-
тельность u
k
∈ L
∞
(Ω) такую, что T
u
k
→ δ
a
в D
0
(Ω). Например, выбрав
последовательность положительных чисел ρ
k
→ 0, определим u
k
(x) = 0
при x 6∈ O
ρ
k
(a) и u
k
(x) = 1/v
k
при x ∈ O
ρ
k
(a), где O
ρ
k
(a) обозначает
шар радиуса ρ
k
в R
n
с центром в точке a, v
k
— объем этого шара. Для
произвольной функции ϕ ∈ D(Ω) по теореме о среднем найдется точка
x
k
∈ O
ρ
k
(a) такая, что
T
u
k
(ϕ) =
1
v
k
Z
O
ρ
k
(a)
ϕdx = ϕ(x
k
) → ϕ(a) = δ
a
(ϕ) (k → ∞).
В действительности, имеет место следующий общий результат: для про-
извольного распределения T ∈ D
0
(Ω) существует последовательность
функций u
k
∈ C
∞
(Ω) такая, что T
u
k
→ T в D
0
(Ω); другими словами,
отождествляя регулярные распределения с порождающими их локально
интегрируемыми функциями, можно сказать, что пространство C
∞
(Ω)
(секвенциально) плотно в пространстве распределений D
0
(Ω).
Если u ∈ C
m
(Ω) и ϕ ∈ D(Ω), то по формуле интегрирования по
частям
Z
Ω
D
α
u(x)ϕ(x)dx = (−1)
|α|
Z
Ω
u(x)D
α
ϕ(x)dx (1.2)
для |α| 6 m. Таким образом, если распределение T
u
порождается функ-
цией точки u(x) по формуле (1.1), а T
v
— функцией v(x) = D
α
u(x), то
тождество (1.2) можно переписать в виде T
v
(ϕ) = (−1)
|α|
T
u
(D
α
ϕ), или,
если обозначить распределение T
v
через D
α
T
u
, в следующем виде
D
α
T
u
(ϕ) = (−1)
|α|
T
u
(D
α
ϕ) ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.3)
26                             Глава 2. Пространства Соболева целого порядка


     Пример 2.2. Пусть a ∈ Ω. Определим на D(Ω) линейный функци-
онал δa , положив δa (ϕ) = ϕ(a) для каждой пробной функции ϕ ∈ D(Ω).
Если ϕn → 0 в D(Ω) , то ϕn (x) → 0 во всех точках x ∈ Ω. Следовательно,
δa (ϕn ) = ϕn (a) → 0. Таким образом, δa является распределением на Ω,
которое называют дельта-функцией или функцией Дирака, сосредото-
ченной в точке a. Можно показать, что дельта-функцию нельзя пред-
ставить в интегральном виде (1.1), то есть она не порождается никакой
локально интегрируемой функцией. Однако легко построить последова-
тельность uk ∈ L∞ (Ω) такую, что Tuk → δa в D0 (Ω). Например, выбрав
последовательность положительных чисел ρk → 0, определим uk (x) = 0
при x 6∈ Oρk (a) и uk (x) = 1/vk при x ∈ Oρk (a), где Oρk (a) обозначает
шар радиуса ρk в Rn с центром в точке a, vk — объем этого шара. Для
произвольной функции ϕ ∈ D(Ω) по теореме о среднем найдется точка
xk ∈ Oρk (a) такая, что
                      Z
                   1
         Tuk (ϕ) =        ϕdx = ϕ(xk ) → ϕ(a) = δa (ϕ) (k → ∞).
                   vk
                  Oρk (a)

В действительности, имеет место следующий общий результат: для про-
извольного распределения T ∈ D0 (Ω) существует последовательность
функций uk ∈ C ∞ (Ω) такая, что Tuk → T в D0 (Ω); другими словами,
отождествляя регулярные распределения с порождающими их локально
интегрируемыми функциями, можно сказать, что пространство C ∞ (Ω)
(секвенциально) плотно в пространстве распределений D0 (Ω).
   Если u ∈ C m (Ω) и ϕ ∈ D(Ω), то по формуле интегрирования по
частям      Z                         Z
                 α                |α|
              D u(x)ϕ(x)dx = (−1)       u(x)Dα ϕ(x)dx      (1.2)
              Ω                           Ω
для |α| 6 m. Таким образом, если распределение Tu порождается функ-
цией точки u(x) по формуле (1.1), а Tv — функцией v(x) = Dα u(x), то
тождество (1.2) можно переписать в виде Tv (ϕ) = (−1)|α| Tu (Dα ϕ), или,
если обозначить распределение Tv через Dα Tu , в следующем виде

              Dα Tu (ϕ) = (−1)|α| Tu (Dα ϕ)    ∀ϕ ∈ D(Ω).              (1.3)

Страницы