Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2
ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА ЦЕЛОГО
ПОРЯДКА
В этой главе для произвольной области Ω ⊂ R
n
определяются про-
странства Соболева целого порядка и устанавливаются их основные свой-
ства.
§ 1. Распределения
В этом параграфе вводятся основные понятия, связанные с распро-
странением операции дифференцирования с гладких функций на более
широкий класс обобщенных функций или распределений.
Говорят, что последовательность {ϕ
k
}
∞
k=1
из C
∞
0
(Ω) сходится к функ-
ции ϕ ∈ C
∞
0
(Ω), если
(i) существует K ⊂⊂ Ω такое, что supp ϕ
k
⊂ K для всех k;
(ii) lim
k→∞
D
α
ϕ
k
(x) = D
α
ϕ(x) равномерно на K для каждого мульти-
индекса α.
Множество C
∞
0
(Ω), наделенное данной сходимостью, называют про-
странством пробных функций и обозначают D(Ω). Соответственно и вве-
денная выше сходимость называется сходимостью в D(Ω).
Заметим, что если ϕ
k
→ ϕ в D(Ω), то для любого мультииндекса
α последовательность D
α
ϕ
k
сходится к D
α
ϕ в D(Ω). То есть оператор
дифференцирования D
α
: D(Ω) → D(Ω) непрерывен (в смысле сходи-
мости в D(Ω)). Кроме того, отметим также, что из утверждений (b) и
(d) теоремы 1.5 с учетом включения supp J
ε
∗ϕ ⊂ supp ϕ + O
ε
следует
сходимость J
ε
∗ ϕ → ϕ в D(Ω) для любой пробной функции ϕ.
Определение 2.1. Линейный функционал T на пространстве D(Ω)
называется распределением или обобщенной функцией на Ω, если он
непрерывен на D(Ω), то есть T (ϕ
k
) → 0 для всякой последовательно-
                               Глава 2
       ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА ЦЕЛОГО
                 ПОРЯДКА


    В этой главе для произвольной области Ω ⊂ Rn определяются про-
странства Соболева целого порядка и устанавливаются их основные свой-
ства.

                        § 1. Распределения

    В этом параграфе вводятся основные понятия, связанные с распро-
странением операции дифференцирования с гладких функций на более
широкий класс обобщенных функций или распределений.
    Говорят, что последовательность {ϕk }∞       ∞
                                         k=1 из C0 (Ω) сходится к функ-
ции ϕ ∈ C0∞ (Ω), если
    (i) существует K ⊂⊂ Ω такое, что supp ϕk ⊂ K для всех k;
    (ii) lim Dα ϕk (x) = Dα ϕ(x) равномерно на K для каждого мульти-
         k→∞
индекса α.
    Множество C0∞ (Ω), наделенное данной сходимостью, называют про-
странством пробных функций и обозначают D(Ω). Соответственно и вве-
денная выше сходимость называется сходимостью в D(Ω).
    Заметим, что если ϕk → ϕ в D(Ω), то для любого мультииндекса
α последовательность Dα ϕk сходится к Dα ϕ в D(Ω). То есть оператор
дифференцирования Dα : D(Ω) → D(Ω) непрерывен (в смысле сходи-
мости в D(Ω)). Кроме того, отметим также, что из утверждений (b) и
(d) теоремы 1.5 с учетом включения supp Jε ∗ ϕ ⊂ supp ϕ + Oε следует
сходимость Jε ∗ ϕ → ϕ в D(Ω) для любой пробной функции ϕ.
   Определение 2.1. Линейный функционал T на пространстве D(Ω)
называется распределением или обобщенной функцией на Ω, если он
непрерывен на D(Ω), то есть T (ϕk ) → 0 для всякой последовательно-

Страницы