Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22 Глава 1. Вводная глава
Воспользовавшись неравенством Гельдера и свойствами функции J
ν
∗u,
будем иметь
Z
R
n
|J
ν
∗ u(x) − u(x)|
p
dx =
Z
R
n
¯
¯
¯
¯
Z
R
n
J
ν
(x − y)(u(y) − u(x)) dy
¯
¯
¯
¯
p
dx 6
6
Z
R
n
Z
R
n
J
ν
(x − y)|u(y) − u(x)|
p
dy dx =
=
Z
R
n
Z
B
ν
J
ν
(h)|u(x + h) − u(x)|
p
dh dx . (3.17)
Из (3.17), (3.14) следует, что при ν 6 ν(ε)
Z
R
n
|J
ν
∗ u(x) − u(x)|
p
dx 6 ε
1
, (3.18)
то есть множество K
ν
при ν 6 ν(ε) является ε
1
-сетью для K.
Докажем, что K
ν
предкомпактно в C(G). По аналогии с (3.17)
нетрудно показать, что
|J
ν
∗ u(x)| 6
µ
sup
x∈R
n
J
ν
(x)
1/p
kuk
p
,
|J
ν
∗ u(x + h) − J
ν
∗ u(x)| 6
6
µ
sup
x∈R
n
J
ν
(x)
1/p
µ
Z
R
n
|u(x + h) − u(x)|
p
dx
1/p
.
Из этих оценок, ограниченности множества K в L
p
(R
n
) и неравен-
ства (3.14) следуют при фиксированном ν 6 ν(ε) равномерная огра-
ниченность и равностепенная непрерывность множества K
ν
в C(G).
Тогда по теореме Арцела K
ν
предкомпактно в C(G). Поэтому суще-
ствует для K
ν
конечная ε
2
-сеть, ε
2
= ε
1
/(mes Ω). Пусть это множество
{ψ
j
}
m
j=1
⊂ C(G). Обозначим через
e
ψ
j
продолжение функции ψ
j
нулем
вне G. Для любого u ∈ K найдется номер j
∗
такой, что
Z
G
|u(x) −
e
ψ
j
∗
(x)|
p
dx 6 ε
2
. (3.19)
22                                                        Глава 1. Вводная глава


Воспользовавшись неравенством Гельдера и свойствами функции Jν ∗ u,
будем иметь
  Z                         Z ¯Z                            ¯p
                              ¯                             ¯
     |Jν ∗ u(x) − u(x)| dx = ¯¯ Jν (x − y)(u(y) − u(x)) dy ¯¯ dx 6
                       p

     Rn                            Rn Rn
                     Z Z
                 6            Jν (x − y)|u(y) − u(x)|p dy dx =
                     Rn Rn
                      Z Z
                 =            Jν (h)|u(x + h) − u(x)|p dh dx .           (3.17)
                     R n Bν

Из (3.17), (3.14) следует, что при ν 6 ν(ε)
                      Z
                         |Jν ∗ u(x) − u(x)|p dx 6 ε1 ,                   (3.18)
                       Rn

то есть множество Kν при ν 6 ν(ε) является ε1 -сетью для K.
    Докажем, что Kν предкомпактно в C(G). По аналогии с (3.17)
нетрудно показать, что
                              µ           ¶1/p
                 |Jν ∗ u(x)| 6 sup Jν (x)      kukp ,
                                         x∈Rn

                  |Jν ∗ u(x + h) − Jν ∗ u(x)| 6
            µ          ¶1/p µZ                       ¶1/p
                                                 p
           6 sup Jν (x)         |u(x + h) − u(x)| dx      .
                x∈Rn
                                    Rn
Из этих оценок, ограниченности множества K в Lp (Rn ) и неравен-
ства (3.14) следуют при фиксированном ν 6 ν(ε) равномерная огра-
ниченность и равностепенная непрерывность множества Kν в C(G).
Тогда по теореме Арцела Kν предкомпактно в C(G). Поэтому суще-
ствует для Kν конечная ε2 -сеть, ε2 = ε1 /(mes Ω). Пусть это множество
{ψj }m                               e
     j=1 ⊂ C(G). Обозначим через ψj продолжение функции ψj нулем
вне G. Для любого u ∈ K найдется номер j ∗ такой, что
                     Z
                       |u(x) − ψej ∗ (x)|p dx 6 ε2 .             (3.19)
                        G

Страницы