Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Пространства Лебега 21
Так как S — конечное множество, то найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что
при |h| < δ
Z
R
n
|ϕ(x + h) − ϕ(x)|
p
dx 6 (ε/3)
p
∀ϕ ∈ S . (3.12)
Пусть u — произвольная функция из K, выберем ϕ ∈ S так, чтобы
ku − ϕk
p
< δ/3. Используя (3.12), нетрудно получить, что
µ
Z
R
n
|u(x + h) − u(x)|
p
dx
1/p
6
µ
Z
R
n
|u(x + h) − ϕ(x + h)|
p
dx
1/p
+
+
µ
Z
R
n
|ϕ(x) −u(x)|
p
dx
1/p
+
µ
Z
R
n
|ϕ(x + h) −ϕ(x)|
p
dx
1/p
6 ε
p
. (3.13)
Таким образом, оценка (3.10) также имеет место.
Докажем далее, что выполнения условий (3.10), (3.11) достаточно
для предкомпактности ограниченного в L
p
(R
n
) множества K. По теоре-
ме Хаусдорфа для этого достаточно установить, что при произвольном
ε > 0 существует для K конечная ε-сеть.
Выберем δ(ε) > 0 и G ⊂⊂ Ω так, чтобы для всех u ∈ K и всех
h ∈ R
n
, |h| < δ(ε), имели место оценки
Z
Ω
|eu(x + h) − eu(x)|
p
dx 6
1
2
p
ε
p
3
≡ ε
1
, (3.14)
Z
Ω\G
|u(x)|
p
dx 6 ε
p
/3 ∀u ∈ K . (3.15)
Используя (3.14), (3.15), построим для K конечную ε-сеть.
Рассмотрим множество
K
ν
= {J
ν
∗ u | u ∈ K},
где J
ν
∗ u — свертка, определенная равенством (3.4). Докажем, что
kJ
ν
∗ u − uk
p
6 ε
1
∀ν 6 ν(ε), ∀u ∈ K . (3.16)
§ 3. Пространства Лебега                                                            21


Так как S — конечное множество, то найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что
при |h| < δ
            Z
              |ϕ(x + h) − ϕ(x)|p dx 6 (ε/3)p  ∀ϕ ∈ S .       (3.12)
             Rn

Пусть u — произвольная функция из K, выберем ϕ ∈ S так, чтобы
ku − ϕkp < δ/3. Используя (3.12), нетрудно получить, что
  µZ                              ¶1/p        µZ                           ¶1/p
                            p                                           p
         |u(x + h) − u(x)| dx            6         |u(x + h) − ϕ(x + h)| dx     +
    Rn                                        Rn
  µZ                  ¶1/p µZ                      ¶1/p
                  p                            p
 +   |ϕ(x) − u(x)| dx     +   |ϕ(x + h) − ϕ(x)| dx      6 εp . (3.13)
    Rn                                   Rn
Таким образом, оценка (3.10) также имеет место.
   Докажем далее, что выполнения условий (3.10), (3.11) достаточно
для предкомпактности ограниченного в Lp (Rn ) множества K. По теоре-
ме Хаусдорфа для этого достаточно установить, что при произвольном
ε > 0 существует для K конечная ε-сеть.
   Выберем δ(ε) > 0 и G ⊂⊂ Ω так, чтобы для всех u ∈ K и всех
h ∈ Rn , |h| < δ(ε), имели место оценки
                 Z
                                      p     1 εp
                     |e
                      u(x + h) − u
                                 e(x)| dx 6 p    ≡ ε1 ,       (3.14)
                                            2 3
                  Ω
                      Z
                            |u(x)|p dx 6 εp /3         ∀u ∈ K .               (3.15)
                      Ω\G

Используя (3.14), (3.15), построим для K конечную ε-сеть.
   Рассмотрим множество

                                Kν = {Jν ∗ u | u ∈ K} ,

где Jν ∗ u — свертка, определенная равенством (3.4). Докажем, что

              kJν ∗ u − ukp 6 ε1               ∀ ν 6 ν(ε),   ∀u ∈ K .         (3.16)

Страницы