Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Пространства Лебега 19
здесь
eu(x) =
(
u(x) , x ∈ Ω ;
0 , x ∈ R
n
\ Ω .
Теорема 1.6. Всякая функция из L
p
(Ω), 1 6 p < ∞, непрерывна в
целом в L
p
(Ω).
Доказательство. Заметим, что из непрерывности в целом функции
eu в пространстве L
p
(R
n
) следует непрерывность в целом функции u в
пространстве L
p
(Ω). Поэтому теорему достаточно доказать для Ω = R
n
.
Для этого при произвольном h ∈ R
n
определим линейный оператор T
h
,
действующий из L
p
(R
n
) в L
p
(R
n
), с помощью формулы:
(T
h
u)(x) = u(x + h) ∀x ∈ R
n
.
Ясно, что kT
h
uk
p
= kuk
p
, так что нормы операторов T
h
равны едини-
це. Далее пусть u — произвольная функция из L
p
(R
n
). По теореме 1.3
найдется последовательность {u
n
}
∞
i=1
⊂ C
∞
0
(R
n
), сходящаяся в L
p
(R
n
) к
функции u. Имеем
kT
h
u − uk
p
6 kT
h
u − T
h
u
n
k
p
+ kT
h
u
n
− u
n
k
p
+ ku − u
n
k
p
6
6 2 ku − u
n
k
p
+ kT
h
u
n
− u
n
k
p
. (3.7)
Для заданного ε > 0 найдется n(ε) такой, что
ku − u
n(ε)
k
p
6 ε/3 . (3.8)
По определению пространства C
∞
0
(R
n
) носитель функции u
n(ε)
— ком-
пактное множество. Поэтому найдется δ(ε) > 0 со свойством
kT
h
u
n(ε)
− u
n(ε)
k
p
6 ε/3 ∀h : |h| 6 δ(ε). (3.9)
Из оценок (3.7)–(3.9) вытекает, что
kT
h
u − uk
p
6 ε ∀h : |h| 6 δ(ε).
Теорема доказана.
§ 3. Пространства Лебега                                                   19


здесь                           (
                                    u(x) , x ∈ Ω;
                       u
                       e(x) =
                                     0 , x ∈ Rn \ Ω .

   Теорема 1.6. Всякая функция из Lp (Ω), 1 6 p < ∞, непрерывна в
целом в Lp (Ω).
    Доказательство. Заметим, что из непрерывности в целом функции
e в пространстве Lp (Rn ) следует непрерывность в целом функции u в
u
пространстве Lp (Ω). Поэтому теорему достаточно доказать для Ω = Rn .
Для этого при произвольном h ∈ Rn определим линейный оператор Th ,
действующий из Lp (Rn ) в Lp (Rn ), с помощью формулы:

                     (Th u)(x) = u(x + h)         ∀x ∈ Rn .

Ясно, что kTh ukp = kukp , так что нормы операторов Th равны едини-
це. Далее пусть u — произвольная функция из Lp (Rn ). По теореме 1.3
найдется последовательность {un }∞       ∞   n                     n
                                  i=1 ⊂ C0 (R ), сходящаяся в Lp (R ) к
функции u. Имеем

        kTh u − ukp 6 kTh u − Th un kp + kTh un − un kp + ku − un kp 6

                       6 2 ku − un kp + kTh un − un kp .                 (3.7)
Для заданного ε > 0 найдется n(ε) такой, что

                             ku − un(ε) kp 6 ε/3 .                       (3.8)

По определению пространства C0∞ (Rn ) носитель функции un(ε) — ком-
пактное множество. Поэтому найдется δ(ε) > 0 со свойством

                kTh un(ε) − un(ε) kp 6 ε/3       ∀h : |h| 6 δ(ε).        (3.9)

Из оценок (3.7)–(3.9) вытекает, что

                    kTh u − ukp 6 ε          ∀h : |h| 6 δ(ε).

Теорема доказана.

Страницы