Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Пространства Лебега 17
для тех функций, для которых интегралы имеют смысл (последнее ра-
венство получается заменой переменных y = x − εz в первом интегра-
ле). Свертку (3.4) называют усреднением по Соболеву или регуляриза-
цией u. Нетрудно видеть, что supp J
ε
∗ u ⊂ supp u + O
ε
. Действи-
тельно, если x 6∈ supp u + O
ε
, то |x − y| > ε ∀y ∈ supp u, а потому
J
ε
(x − y) = 0 ∀y ∈ supp u, и J
ε
∗ u(x) = 0.
Следующую теорему мы будем неоднократно использовать в даль-
нейшем.
Теорема 1.5. Пусть u — функция, определенная на R
n
, равная
нулю вне Ω .
(a) Если u ∈ L
1,loc
(Ω), то J
ε
∗ u принадлежит C
∞
(R
n
).
(b) Если, кроме того, supp u ⊂⊂ Ω, то J
ε
∗ u ∈ C
∞
0
(Ω) при
ε < dist(supp u, ∂Ω).
(c) Если u ∈ L
p
(Ω) и p ∈ [1, ∞), то
kJ
ε
∗ uk
p
6 kuk
p
и lim
ε→0+
kJ
ε
∗ u − uk
p
= 0.
(d) Если u ∈ C
m
(Ω) и G ⊂⊂ Ω, то lim
ε→0+
D
α
J
ε
∗ u(x) = D
α
u(x)
равномерно на G для всех |α| 6 m.
(e) Если u ∈ C
m
(Ω), то lim
ε→0+
J
ε
∗ u = u в пространстве C
m
(Ω).
Доказательство. Функция J
ε
(x −y) — бесконечно дифференциру-
емая функция x, равная нулю при |y − x| > ε. Поэтому для любого
мультииндекса α и функции u ∈ L
1,loc
(Ω) будем иметь
D
α
(J
ε
∗ u)(x) =
Z
Ω
D
α
x
J
ε
(x − y) u(y) dy,
откуда следуют утверждения (a) и (b).
Пусть u ∈ L
p
(Ω). Для p ∈ (1, ∞) оценим J
ε
∗u с помощью неравенства
Гельдера, в результате получим
|
J
ε
∗
u
(
x
)
|
=
¯
¯
¯
¯
Z
R
n
J
ε
(
x
−
y
)
u
(
y
)
dy
¯
¯
¯
¯
6
6
¯
¯
¯
¯
Z
R
n
J
ε
(x − y) dy
¯
¯
¯
¯
1/p
0
µ
Z
R
n
J
ε
(x − y)|u(y)|
p
dy
1/p
=
§ 3. Пространства Лебега                                              17


для тех функций, для которых интегралы имеют смысл (последнее ра-
венство получается заменой переменных y = x − εz в первом интегра-
ле). Свертку (3.4) называют усреднением по Соболеву или регуляриза-
цией u. Нетрудно видеть, что supp Jε ∗ u ⊂ supp u + Oε . Действи-
тельно, если x 6∈ supp u + Oε , то |x − y| > ε ∀y ∈ supp u, а потому
Jε (x − y) = 0 ∀y ∈ supp u, и Jε ∗ u(x) = 0.
    Следующую теорему мы будем неоднократно использовать в даль-
нейшем.
   Теорема 1.5. Пусть u — функция, определенная на Rn , равная
нулю вне Ω.
   (a) Если u ∈ L1,loc (Ω), то Jε ∗ u принадлежит C ∞ (Rn ).
   (b) Если, кроме того, supp u ⊂⊂ Ω, то Jε ∗ u ∈ C0∞ (Ω) при
   ε < dist(supp u, ∂Ω).
   (c) Если u ∈ Lp (Ω) и p ∈ [1, ∞), то
                kJε ∗ ukp 6 kukp     и lim kJε ∗ u − ukp = 0.
                                         ε→0+

    (d) Если u ∈ C m (Ω) и G ⊂⊂ Ω, то lim Dα Jε ∗ u(x) = Dα u(x)
                                                ε→0+
    равномерно на G для всех |α| 6 m.
    (e) Если u ∈ C m (Ω), то lim Jε ∗ u = u в пространстве C m (Ω).
                              ε→0+
   Доказательство. Функция Jε (x − y) — бесконечно дифференциру-
емая функция x, равная нулю при |y − x| > ε. Поэтому для любого
мультииндекса α и функции u ∈ L1,loc (Ω) будем иметь
                               Z
                α
               D (Jε ∗ u)(x) =   Dxα Jε (x − y) u(y) dy,
                                     Ω

откуда следуют утверждения (a) и (b).
   Пусть u ∈ Lp (Ω). Для p ∈ (1, ∞) оценим Jε ∗u с помощью неравенства
Гельдера, в результате получим
                                ¯Z                    ¯
                                ¯                     ¯
                 |Jε ∗ u(x)| = ¯¯ Jε (x − y) u(y) dy ¯¯ 6
                                   Rn
              ¯Z               ¯1/p0 µZ                     ¶1/p
              ¯                ¯
           6 ¯¯ Jε (x − y) dy ¯¯                        p
                                        Jε (x − y)|u(y)| dy      =
               Rn                    Rn

Страницы