Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

16 Глава 1. Вводная глава
Доказательство. Пусть χ
j
(x) — характеристическая функция мно-
жества Ω
j
. Ясно, что
∞
X
j=1
Z
Ω
j
|f(x)|
p
dx =
∞
X
j=1
Z
Ω
χ
j
(x) |f(x)|
p
dx ,
и для любого сколь угодно большого числа M имеет место равенство
M
X
j=1
Z
Ω
j
|f(x)|
p
dx =
Z
Ω
µ
M
X
j=1
χ
j
(x)
|f(x)|
p
dx. (3.3)
Докажем, что мера множества {x ∈ Ω |
∞
P
j=1
χ
j
(x) > N} равна нулю.
Предположим обратное, тогда найдутся множество E ⊂ Ω ненулевой
меры и набор χ
j
k
, 1 6 k 6 N + 1 такие, что χ
j
k
(x) = 1 для всех
1 6 k 6 N + 1 и всех x ∈ E. Но это противоречит условию теоремы.
Таким образом функция
∞
P
j=1
χ
j
(x) 6 N почти всюду на Ω. Используя
это, из равенства (3.3) легко получить утверждение теоремы.
В теории пространств Лебега, а также при построении и исследо-
вании соболевских пространств широко используются усредненные по
Соболеву функции, которые определяются следующим образом. Для из-
меримых на R
n
функций u, v таких, что при каждом x ∈ R
n
функция
u(x − y)v(y) интегрируема на R
n
по переменной y, определим свертку
равенством
u ∗ v(x) =
Z
R
n
u(x − y) v(y) dy =
Z
R
n
u(y) v(x −y) dy = v ∗ u(x).
Пусть теперь J — любая функция, удовлетворяющая условиям (2.1). Ес-
ли ε > 0, то функция J
ε
(x) = ε
−n
J(x/ε) обладает теми же свойствами,
что и J(x), с одним лишь отличием: supp J
ε
= {x | | x| 6 ε}. Составим
свертку
J
ε
∗ u(x) =
Z
R
n
J
ε
(x − y)u(y)dy =
Z
R
n
u(x − εy)J(y)dy (3.4)
16                                                         Глава 1. Вводная глава




   Доказательство. Пусть χj (x) — характеристическая функция мно-
жества Ωj . Ясно, что
              X∞ Z                 ∞ Z
                                   X
                             p
                      |f (x)| dx =     χj (x) |f (x)|p dx ,
              j=1 Ω                    j=1 Ω
                    j


и для любого сколь угодно большого числа M имеет место равенство
            XM Z                Z µXM        ¶
                          p
                   |f (x)| dx =        χj (x) |f (x)|p dx.    (3.3)
            j=1 Ω                  Ω      j=1
                  j


                                                P
                                                ∞
Докажем, что мера множества {x ∈ Ω |                  χj (x) > N } равна нулю.
                                                j=1
Предположим обратное, тогда найдутся множество E ⊂ Ω ненулевой
меры и набор χjk , 1 6 k 6 N + 1 такие, что χjk (x) = 1 для всех
1 6 k 6 N + 1 и всех x ∈ E. Но это противоречит условию теоремы.
                       P
                       ∞
Таким образом функция     χj (x) 6 N почти всюду на Ω. Используя
                             j=1
это, из равенства (3.3) легко получить утверждение теоремы.
    В теории пространств Лебега, а также при построении и исследо-
вании соболевских пространств широко используются усредненные по
Соболеву функции, которые определяются следующим образом. Для из-
меримых на Rn функций u, v таких, что при каждом x ∈ Rn функция
u(x − y)v(y) интегрируема на Rn по переменной y, определим свертку
равенством
                Z                     Z
     u ∗ v(x) =    u(x − y) v(y) dy =   u(y) v(x − y) dy = v ∗ u(x).
               Rn                        Rn

Пусть теперь J — любая функция, удовлетворяющая условиям (2.1). Ес-
ли ε > 0, то функция Jε (x) = ε−n J(x/ε) обладает теми же свойствами,
что и J(x), с одним лишь отличием: supp Jε = {x | |x| 6 ε}. Составим
свертку
                     Z                    Z
          Jε ∗ u(x) = Jε (x − y)u(y)dy = u(x − εy)J(y)dy         (3.4)
                        Rn                      Rn

Страницы