Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14 Глава 1. Вводная глава
L
p
(Ω) является банаховым пространством относительно нормы
kuk
L
p
(Ω)
=
µ
Z
Ω
|u(x)|
p
dx
1/p
.
Измеримая на Ω функция u называется существенно ограниченной,
если существует постоянная K, для которой |u(x)| 6 K для почти всех
x ∈ Ω. Нижнюю грань всех допустимых постоянных K называют суще-
ственной верхней границей функции u и обозначают через ess sup
x∈Ω
|u(x)|.
Множество всех измеримых существенно ограниченных на Ω функций
обозначается через L
∞
(Ω). Оно является банаховым пространством от-
носительно нормы
k
u
k
L
∞
(Ω)
=
ess
sup
x∈Ω
|
u
(
x
)
|
.
Для нормы в L
p
(Ω), когда это не вызывает недоразумений, будем ис-
пользовать также обозначение k · k
p
.
Функция u, определенная почти всюду на Ω, называется локально
интегрируемой на Ω, если для любого компакта K ⊂ Ω функция u
принадлежит L
1
(K). Множество всех таких функций обозначают через
L
1,loc
(Ω).
В дальнейшем полезными будут следующие результаты.
Лемма 1.2. Если u ∈ L
1,loc
(Ω) и
R
Ω
u(x) ϕ(x) dx = 0 для любой
функции ϕ ∈ C
∞
0
(Ω), то u(x) = 0 почти всюду в Ω.
Доказательство. Фиксируем произвольный компакт K из Ω. Очевид-
но, найдется ε
0
> 0 такое, что K + O
ε
0
⊂ Ω. По лемме 1.1 для любого
ε > 0 : ε ≤ ε
0
существует функция ϕ
ε
∈ C
∞
0
(K + O
ε
) такая, что
0 6 ϕ
ε
6 1 и ϕ
ε
(x) = 1 ∀x ∈ K. Тогда
¯
¯
¯
¯
Z
K
u(x)dx
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
Z
Ω
u(x)χ
K
(x) dx
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
Z
Ω
u(x) (ϕ
ε
(x) − χ
K
(x)) dx
¯
¯
¯
¯
≤
≤
Z
(K+O
ε
)\K
|u(x)|dx → 0 при ε → 0, (3.1)
поскольку мера множества (K + O
ε
)\K стремится к нулю при ε → 0. Из
(3.1) в силу произвольности K следует утверждение леммы.
14                                                      Глава 1. Вводная глава


Lp (Ω) является банаховым пространством относительно нормы
                                µZ           ¶1/p
                    kukLp (Ω) =    |u(x)|p dx     .
                                     Ω

    Измеримая на Ω функция u называется существенно ограниченной,
если существует постоянная K, для которой |u(x)| 6 K для почти всех
x ∈ Ω. Нижнюю грань всех допустимых постоянных K называют суще-
ственной верхней границей функции u и обозначают через ess sup |u(x)|.
                                                                   x∈Ω
Множество всех измеримых существенно ограниченных на Ω функций
обозначается через L∞ (Ω). Оно является банаховым пространством от-
носительно нормы
                      kukL∞ (Ω) = ess sup |u(x)| .
                                         x∈Ω
Для нормы в Lp (Ω), когда это не вызывает недоразумений, будем ис-
пользовать также обозначение k · kp .
     Функция u, определенная почти всюду на Ω, называется локально
интегрируемой на Ω, если для любого компакта K ⊂ Ω функция u
принадлежит L1 (K). Множество всех таких функций обозначают через
L1,loc (Ω).
     В дальнейшем полезными будут следующие результаты.
                                      R
     Лемма 1.2. Если u ∈ L1,loc (Ω) и u(x) ϕ(x) dx = 0 для любой
                                              Ω
функции ϕ ∈ C0∞ (Ω), то u(x) = 0 почти всюду в Ω.
    Доказательство. Фиксируем произвольный компакт K из Ω. Очевид-
но, найдется ε0 > 0 такое, что K + Oε0 ⊂ Ω. По лемме 1.1 для любого
ε > 0 : ε ≤ ε0 существует функция ϕε ∈ C0∞ (K + Oε ) такая, что
0 6 ϕε 6 1 и ϕε (x) = 1 ∀x ∈ K. Тогда
  ¯Z        ¯     ¯Z              ¯   ¯Z                      ¯
  ¯         ¯     ¯               ¯   ¯                       ¯
  ¯ u(x)dx¯ = ¯ u(x)χK (x) dx¯ = ¯ u(x) (ϕε (x) − χK (x)) dx¯ ≤
  ¯         ¯     ¯               ¯   ¯                       ¯
     K             Ω                      Ω
                       Z
               ≤               |u(x)|dx → 0       при ε → 0,             (3.1)
                   (K+Oε )\K

поскольку мера множества (K + Oε )\K стремится к нулю при ε → 0. Из
(3.1) в силу произвольности K следует утверждение леммы.

Страницы