Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Пространства Лебега 15
Теорема 1.3. При 1 ≤ p < ∞ пространство C
∞
0
(Ω) плотно в
L
p
(Ω).
Доказательство. Сначала докажем, что множество всех линейных
комбинаций характеристических функций χ
K
компактных подмножеств
K ⊂ Ω (обозначим его L) плотно в L
p
(Ω). Предположим, что это утвер-
ждение не верно, то есть существует функция u ∈ L
p
(Ω), не принадлежа-
щая L. Тогда по следствию из теоремы Хана-Банаха найдется ненулевая
функция w ∈ L
p
0
(Ω)
2
такая, что
Z
Ω
w(x) v(x) dx = 0 ∀v ∈ L.
В частности
Z
Ω
w(x) χ
K
(x) dx =
Z
K
w(x) dx = 0 ∀K ⊂ Ω.
Полученное противоречие доказывает, что L = L
p
(Ω). Осталось пока-
зать, что характеристическую функцию любого компакта K ⊂ Ω мож-
но представить пределом последовательности функций из C
∞
0
(Ω). Дей-
ствительно, поскольку компакт K ⊂ Ω, то найдется такое δ > 0, что
K +O
δ
⊂ Ω. По лемме 1.1 для любого ε > 0 : ε ≤ δ существует функция
ϕ
ε
∈ C
∞
0
(K + O
ε
) ⊂ C
∞
0
(Ω) такая, что 0 6 ϕ
ε
6 1 и ϕ
ε
(x) = 1 ∀x ∈ K.
Следовательно,
kχ
K
− ϕ
ε
k
p
≤ mes ((K + O
ε
)\K) → 0 при ε → 0.
Теорема доказана.
Теорема 1.4. Пусть Ω — произвольная область пространства R
n
,
а {Ω
j
}
∞
j=1
— система измеримых подмножеств Ω, обладающая следую-
щим свойством: существует число N такое, что для любой системы
{Ω
j
k
}
N+1
k=1
⊂ {Ω
j
}
∞
j=1
мера множества
N+1
T
k=1
Ω
j
k
равна нулю. Тогда для
любой функции f ∈ L
p
(Ω) справедливо равенство
∞
X
j=1
Z
Ω
j
|f(x)|
p
dx 6 N
Z
Ω
|f(x)|
p
dx . (3.2)
2
Здесь и всюду далее p
0
= p/(p − 1). Числа p и p
0
будем называть сопряженными.
§ 3. Пространства Лебега                                                                15


    Теорема 1.3.             При 1 ≤ p < ∞ пространство C0∞ (Ω) плотно в
Lp (Ω).
   Доказательство. Сначала докажем, что множество всех линейных
комбинаций характеристических функций χK компактных подмножеств
K ⊂ Ω (обозначим его L) плотно в Lp (Ω). Предположим, что это утвер-
ждение не верно, то есть существует функция u ∈ Lp (Ω), не принадлежа-
щая L. Тогда по следствию из теоремы Хана-Банаха найдется ненулевая
функция w ∈ Lp0 (Ω) 2 такая, что
                    Z
                       w(x) v(x) dx = 0    ∀v ∈ L.
                            Ω
В частностиZ                                Z
                     w(x) χK (x) dx =           w(x) dx = 0           ∀K ⊂ Ω.
                 Ω                          K

Полученное противоречие доказывает, что L = Lp (Ω). Осталось пока-
зать, что характеристическую функцию любого компакта K ⊂ Ω мож-
но представить пределом последовательности функций из C0∞ (Ω). Дей-
ствительно, поскольку компакт K ⊂ Ω, то найдется такое δ > 0, что
K + Oδ ⊂ Ω. По лемме 1.1 для любого ε > 0 : ε ≤ δ существует функция
ϕε ∈ C0∞ (K + Oε ) ⊂ C0∞ (Ω) такая, что 0 6 ϕε 6 1 и ϕε (x) = 1 ∀x ∈ K.
Следовательно,
                kχK − ϕε kp ≤ mes ((K + Oε )\K) → 0 при ε → 0.
Теорема доказана.
   Теорема 1.4. Пусть Ω — произвольная область пространства Rn ,
а {Ωj }∞
       j=1 — система измеримых подмножеств Ω, обладающая следую-
щим свойством: существует число N такое, что для любой системы
                                     NT
                                      +1
      N +1
{Ωjk }k=1  ⊂ {Ωj }∞
                  j=1 мера множества     Ωjk равна нулю. Тогда для
                                                        k=1
любой функции f ∈ Lp (Ω) справедливо равенство
               X∞ Z                    Z
                       |f (x)|p dx 6 N   |f (x)|p dx .                                (3.2)
                         j=1 Ω                          Ω
                              j

  2
      Здесь и всюду далее p0 = p/(p − 1). Числа p и p0 будем называть сопряженными.

Страницы