Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Пространства Лебега 13
Сходимость в C(Ω) означает равномерную сходимость в Ω, поэтому для
любого ε > 0 найдется номер n(ε) такой, что
|ϕ
j
(x) − ϕ(x)| 6 ε ∀x ∈ Ω, ∀j > n(ε) .
Поэтому разность
¯
¯
¯
¯
ϕ
j
k
(x + he
1
) − ϕ
j
k
(x)
h
−
ϕ(x + he
1
) − ϕ(x)
h
¯
¯
¯
¯
6
6
¯
¯
¯
¯
ϕ
j
k
(x + he
1
) − ϕ(x + he
1
)
h
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
ϕ
j
k
(x) − ϕ(x)
h
¯
¯
¯
¯
(2.5)
будет сколь угодно мала, если j
k
> n(h
2
) (здесь e
1
— орт x
1
). Из
(2.5), очевидно, следует, что ψ = D
1
ϕ. Повторяя эту процедуру, мож-
но выделить подпоследовательность {ϕ
j
0
}
∞
j
0
=1
⊂ {ϕ
j
}
∞
j=1
такую, что
D
α
ϕ
j
0
→ D
α
ϕ в C(Ω) для всех α : |α| 6 m. Таким образом, ком-
пактность (2.3) имеет место.
Компактность вложения (2.2) следует из компактности (2.3), по-
скольку C
m+1
(Ω) → C
m,λ
(Ω), 0 ≤ λ ≤ 1.
Для доказательства компактности вложения (2.4) заметим, что
|D
α
ϕ(x) − D
α
ϕ(y)|
|x − y|
ν
=
=
µ
|D
α
ϕ(x) − D
α
ϕ(y)|
|x − y|
λ
ν/λ
|D
α
ϕ(x) − D
α
ϕ(y)|
1−ν/λ
6
6 2 kϕk
1−ν/λ
C
m
(Ω)
kϕk
ν/λ
C
m,λ
(Ω)
.
Таким образом,
kϕk
C
m,ν
(Ω)
6 kϕk
C
m
(Ω)
+ 2 kϕk
1−ν/λ
C
m
(Ω)
kϕk
ν/λ
C
m,λ
(Ω)
. (2.6)
Из (2.6) и компактности (2.3) следует компактность вложения (2.4). Тео-
рема доказана.
§ 3. Пространства Лебега
Для 1 6 p < ∞ будем обозначать через L
p
(Ω) множество всех изме-
римых функций, определенных на Ω, для которых
Z
Ω
|u(x)|
p
dx < ∞.
§ 3. Пространства Лебега                                                 13


Сходимость в C(Ω) означает равномерную сходимость в Ω, поэтому для
любого ε > 0 найдется номер n(ε) такой, что
              |ϕj (x) − ϕ(x)| 6 ε           ∀ x ∈ Ω,   ∀ j > n(ε) .
Поэтому разность
          ¯                                                   ¯
          ¯ ϕjk (x + he1 ) − ϕjk (x)   ϕ(x    + he 1 ) − ϕ(x) ¯
          ¯                          −                        ¯ 6
          ¯             h                          h          ¯
             ¯                              ¯   ¯                ¯
             ¯ ϕjk (x + he1 ) − ϕ(x + he1 ) ¯   ¯ ϕjk (x) − ϕ(x) ¯
         6 ¯¯                               ¯+¯
                                            ¯   ¯
                                                                 ¯
                                                                 ¯     (2.5)
                             h                           h
будет сколь угодно мала, если jk > n(h2 ) (здесь e1 — орт x1 ). Из
(2.5), очевидно, следует, что ψ = D1 ϕ. Повторяя эту процедуру, мож-
но выделить подпоследовательность {ϕj 0 }∞                ∞
                                            j 0 =1 ⊂ {ϕj }j=1 такую, что
Dα ϕj 0 → Dα ϕ в C(Ω) для всех α : |α| 6 m. Таким образом, ком-
пактность (2.3) имеет место.
    Компактность вложения (2.2) следует из компактности (2.3), по-
скольку C m+1 (Ω) → C m,λ (Ω), 0 ≤ λ ≤ 1.
    Для доказательства компактности вложения (2.4) заметим, что
                          |Dα ϕ(x) − Dα ϕ(y)|
                                                 =
                                |x − y|ν
          µ α                    ¶ν/λ
            |D ϕ(x) − Dα ϕ(y)|
        =                 λ
                                      |Dα ϕ(x) − Dα ϕ(y)|1−ν/λ 6
                  |x − y|
                                    1−ν/λ      ν/λ
                           6 2 kϕkC m (Ω) kϕkC m,λ (Ω) .
Таким образом,
                                                  1−ν/λ     ν/λ
             kϕkC m,ν (Ω) 6 kϕkC m (Ω) + 2 kϕkC m (Ω) kϕkC m,λ (Ω) .   (2.6)
Из (2.6) и компактности (2.3) следует компактность вложения (2.4). Тео-
рема доказана.

                       § 3. Пространства Лебега

   Для 1 6 p < ∞ будем обозначать через Lp (Ω) множество всех изме-
римых функций, определенных на Ω, для которых
                       Z
                          |u(x)|p dx < ∞.
                              Ω

Страницы