Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Пространства непрерывных функций 11
O
j
=
½
U ∩ (int A
j+1
∩ A
c
j−2
)
¯
¯
¯
¯
U ∈ O
¾
,
где int A — внутренность множества A , A
c
= R
n
\A — дополнение мно-
жества A. Тогда A =
∞
S
j=1
A
j
, каждое A
j
компактно, и семейство O
j
по-
крывает замыкание множества A
j
\A
j−1
. Следовательно, по доказанному
выше существует конечное C
∞
-разбиение единицы Ψ
j
для A
j
, подчи-
ненное семейству O
j
. Пусть σ(x) =
∞
P
j=1
P
ϕ∈Ψ
j
ϕ(x). Ясно, что σ(x) > 0
для всех x ∈ A и при каждом x является суммой лишь конечного числа
ненулевых слагаемых.
Определим семейство Ψ как объединение всех функций вида
ψ(x) =
(
ϕ(x)/σ(x), x ∈ A,
0 x 6∈ A,
где ϕ — функция, принадлежащая одному из Ψ
j
. Нетрудно убедиться в
том, что Ψ является разбиением единицы для открытого множества A.
Наконец, если A произвольно, то A является подмножеством откры-
того множества B =
S
U∈O
U. Осталось заметить, что любое разбиение
единицы множества B будет таковым и для A. Теорема доказана.
Далее будем обозначать через C
m,λ
(Ω), 0 < λ 6 1, подпространство
C
m
(Ω), состоящее из функций ϕ, удовлетворяющих вместе со своими
производными до порядка m включительно условию Гельдера с показа-
телем λ:
|D
α
ϕ(x) − D
α
ϕ(y)| 6 K |x − y|
λ
∀x, y ∈ Ω, ∀α : |α| 6 m.
Аналогично определяется пространство C
m,λ
(Ω). C
m,λ
(Ω) — банахово
пространство с нормой
kuk
C
m,λ
(Ω)
= kuk
C
m
(Ω)
+ max
|α|6m
sup
x,y ∈Ω
x6=y
|D
α
u(x) − D
α
u(y)|
|x − y|
λ
.
Теорема 1.2. Пусть m — неотрицательное целое число, а пара-
метры λ и ν удовлетворяют неравенствам 0 < ν < λ 6 1. Тогда
имеют место следующие вложения
C
m+1
(Ω) → C
m
(Ω), (2.2)
§ 2. Пространства непрерывных функций                                                 11

                       ½                              ¯           ¾
                                                      ¯
                Oj =       U ∩ (int Aj+1 ∩   Acj−2 ) ¯¯   U ∈O ,

где int A — внутренность множества A, Ac = Rn \A — дополнение мно-
                      S
                      ∞
жества A. Тогда A =     Aj , каждое Aj компактно, и семейство Oj по-
                       j=1
крывает замыкание множества Aj \Aj−1 . Следовательно, по доказанному
выше существует конечное C ∞ -разбиение единицы Ψj для Aj , подчи-
                                   P∞ P
ненное семейству Oj . Пусть σ(x) =         ϕ(x). Ясно, что σ(x) > 0
                                            j=1 ϕ∈Ψj
для всех x ∈ A и при каждом x является суммой лишь конечного числа
ненулевых слагаемых.
   Определим семейство Ψ как объединение всех функций вида
                           (
                             ϕ(x)/σ(x), x ∈ A,
                    ψ(x) =
                                 0       x 6∈ A,
где ϕ — функция, принадлежащая одному из Ψj . Нетрудно убедиться в
том, что Ψ является разбиением единицы для открытого множества A.
    Наконец, если A произвольно, то A является подмножеством откры-
                       S
того множества B =       U . Осталось заметить, что любое разбиение
                       U ∈O
единицы множества B будет таковым и для A. Теорема доказана.
     Далее будем обозначать через C m,λ (Ω), 0 < λ 6 1, подпространство
C m (Ω), состоящее из функций ϕ, удовлетворяющих вместе со своими
производными до порядка m включительно условию Гельдера с показа-
телем λ:
    |Dα ϕ(x) − Dα ϕ(y)| 6 K |x − y|λ                ∀ x, y ∈ Ω,       ∀α : |α| 6 m.
Аналогично определяется пространство C m,λ (Ω). C m,λ (Ω) — банахово
пространство с нормой
                                                    |Dα u(x) − Dα u(y)|
       kukC m,λ (Ω) = kukC m (Ω) + max sup                              .
                                    |α|6m   x,y∈Ω         |x − y|λ
                                             x6=y


   Теорема 1.2. Пусть m — неотрицательное целое число, а пара-
метры λ и ν удовлетворяют неравенствам 0 < ν < λ 6 1. Тогда
имеют место следующие вложения
                             C m+1 (Ω) → C m (Ω),                                 (2.2)

Страницы