Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Пространства непрерывных функций 9
Для целого неотрицательного m через C
m
(Ω) обозначим множество
всех функций u ∈ C
m
(Ω), для которых все производные D
α
u, |α| 6 m,
ограничены и равномерно непрерывны на Ω. Пространство C
m
(Ω) явля-
ется банаховым,
kuk
C
m
(Ω)
= max
|α|6m
sup
x∈Ω
|D
α
u(x)|.
Для m = ∞ полагаем C
∞
(Ω) =
∞
T
k=1
C
k
(Ω).
Ясно, что C
∞
0
(Ω) ⊂ C
∞
(Ω) ⊂ C
∞
(Ω), и все эти пространства
функций различны. Например, если n = 1, Ω = (0, 1), то функция
u(x) ≡ 1 принадлежит C
∞
(Ω), но не принадлежит C
∞
0
(Ω), а функция
u(x) = sin(1/x) принадлежит C
∞
(Ω), но не принадлежит C
∞
(Ω), так
как у этой функции не существует предела в нуле.
Элементы множества C
∞
0
(Ω) называют пробными или основными
функциями. Классическим примером пробной функции в R
n
является
функция ϕ(x) = f(|x|
2
− 1), где f(t) = e
1/t
, если t < 0, и f(t) = 0 при
t > 0. Действительно, f ∈ C
∞
(R
1
), так как все ее производные существу-
ют при t 6= 0 и стремятся к нулю при t → 0. Функция |x|
2
−1 =
n
P
j=1
x
2
j
−1
имеет все частные производные, так что ϕ ∈ C
∞
(R
n
). Кроме того, но-
сителем функции ϕ является единичный шар с центром в нуле. Таким
образом, ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
), 0 6 ϕ 6 1. Обозначим ρ =
R
R
n
ϕdx (ρ > 0). Тогда
функция J(x) = ϕ(x)/ρ обладает следующими свойствами:
J ∈ C
∞
0
(R
n
), J > 0, supp J = {x ∈ R
n
| |x| 6 1},
Z
R
n
J dx = 1. (2.1)
Лемма 1.1. Если K — компактное подмножество Ω, то суще-
ствует такая функция ψ ∈ C
∞
0
(Ω), что 0 6 ψ 6 1 и ψ = 1 в окрест-
ности K.
Доказательство. Пусть 0 < ε < ε
0
< ε + ε
0
< δ, где
δ = dist(K, ∂Ω) ≡ inf
x∈K, y∈∂Ω
|x − y|
Обозначим через O
ε
— замкнутый шар радиуса ε с центром в нуле.
Положим u = 1 на компактном множестве K
ε
0
= K + O
ε
0
и u = 0 вне
§ 2. Пространства непрерывных функций                                           9


    Для целого неотрицательного m через C m (Ω) обозначим множество
всех функций u ∈ C m (Ω), для которых все производные Dα u, |α| 6 m,
ограничены и равномерно непрерывны на Ω. Пространство C m (Ω) явля-
ется банаховым,
                    kukC m (Ω) = max sup |Dα u(x)|.
                                   |α|6m x∈Ω
                                       T
                                       ∞
   Для m = ∞ полагаем C ∞ (Ω) =             k
                                              C (Ω).
                                        k=1
    Ясно, что C0∞ (Ω) ⊂ C ∞ (Ω) ⊂ C ∞ (Ω), и все эти пространства
функций различны. Например, если n = 1, Ω = (0, 1), то функция
u(x) ≡ 1 принадлежит C ∞ (Ω), но не принадлежит C0∞ (Ω), а функция
u(x) = sin(1/x) принадлежит C ∞ (Ω), но не принадлежит C ∞ (Ω), так
как у этой функции не существует предела в нуле.
    Элементы множества C0∞ (Ω) называют пробными или основными
функциями. Классическим примером пробной функции в Rn является
функция ϕ(x) = f (|x|2 − 1), где f (t) = e1/t , если t < 0, и f (t) = 0 при
t > 0. Действительно, f ∈ C ∞ (R1 ), так как все ее производные существу-
                                                                   Pn
ют при t 6= 0 и стремятся к нулю при t → 0. Функция |x|2 − 1 =        x2j − 1
                                                                          j=1
                                                        ∞        n
имеет все частные производные, так что ϕ ∈ C (R ). Кроме того, но-
сителем функции ϕ является единичный шар с центром в нуле. Таким
                                                R
образом, ϕ ∈ C0∞ (Rn ), 0 6 ϕ 6 1. Обозначим ρ = ϕdx (ρ > 0). Тогда
                                                            Rn
функция J(x) = ϕ(x)/ρ обладает следующими свойствами:
                                                    Z
 J ∈ C0∞ (Rn ), J > 0, supp J = {x ∈ Rn | |x| 6 1},   J dx = 1. (2.1)
                                                                     Rn

   Лемма 1.1. Если K — компактное подмножество Ω, то суще-
ствует такая функция ψ ∈ C0∞ (Ω), что 0 6 ψ 6 1 и ψ = 1 в окрест-
ности K.
   Доказательство. Пусть 0 < ε < ε0 < ε + ε0 < δ, где

                   δ = dist(K, ∂Ω) ≡           inf     |x − y|
                                          x∈K, y∈∂Ω

Обозначим через Oε — замкнутый шар радиуса ε с центром в нуле.
Положим u = 1 на компактном множестве Kε0 = K + Oε0 и u = 0 вне

Страницы