Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10 Глава 1. Вводная глава
K
ε
0
, и рассмотрим функцию
ψ
ε
(x) =
Z
R
n
u(x − εy)J(y) dy .
Ясно, что носитель функции ψ
ε
содержится в множестве K
ε+ε
0
, и ψ
ε
= 1
в K
ε
0
−ε
. Лемма доказана.
Установим более общее утверждение, называемое теоремой о разби-
ении единицы.
Теорема 1.1. Пусть A ⊂ R
n
— произвольное подмножество, и
пусть O — открытое покрытие множества A. Тогда существует се-
мейство функций Ψ ⊂ C
∞
0
(R
n
), обладающее следующими свойствами.
1
(i) Для каждой функции ψ ∈ Ψ и каждого x ∈ R
n
справедливы
оценки 0 6 ψ(x) 6 1.
(ii) Если K ⊂⊂ A, то для всех ψ ∈ Ψ, за исключением может
быть конечного числа, ψ(x) = 0 ∀x ∈ K.
(iii) Для каждой функции ψ ∈ Ψ существует U ∈ O такое,
что supp ψ ⊂ U.
(iv)
P
ψ∈Ψ
ψ(x) ≡ 1 для всех x ∈ A.
Доказательство. Предположим сначала, что A компактно. Тогда су-
ществует конечное подпокрытие {U
j
}
N
j=1
⊂ O такое, что A ⊂
N
S
j=1
U
j
.
В силу компактности A, для каждого U
j
можно выбрать компактное
множество K
j
⊂ U
j
так, чтобы A ⊂
N
S
j=1
K
j
. По лемме 1.1 найдется
функция ϕ
j
∈ C
∞
0
(U
j
), равная единице в окрестности множества K
j
.
Положим ψ
1
= ϕ
1
, ψ
j
= ϕ
j
(1 − ϕ
1
) . . . (1 − ϕ
j−1
), j = 2, N. Тогда
N
P
j=1
ψ
j
= 1−(1−ϕ
1
) . . . (1−ϕ
N
), и семейство функций Ψ = {ψ
j
| j = 1, N}
удовлетворяет требуемым свойствам.
Предположим теперь, что A открыто. Пусть
A
j
=
½
x ∈ A
¯
¯
¯
¯
|x| 6 j, dist(x, ∂A) > 1/j
¾
,
1
Такое семейство Ψ называется C
∞
-разбиением единицы для A, подчиненное покрытию O.
10                                                                     Глава 1. Вводная глава


Kε0 , и рассмотрим функцию
                                           Z
                                ψε (x) =        u(x − εy)J(y) dy .
                                           Rn

Ясно, что носитель функции ψε содержится в множестве Kε+ε0 , и ψε = 1
в Kε0 −ε . Лемма доказана.
   Установим более общее утверждение, называемое теоремой о разби-
ении единицы.
   Теорема 1.1. Пусть A ⊂ Rn — произвольное подмножество, и
пусть O — открытое покрытие множества A. Тогда существует се-
мейство функций Ψ ⊂ C0∞ (Rn ), обладающее следующими свойствами.1
   (i) Для каждой функции ψ ∈ Ψ и каждого x ∈ Rn справедливы
   оценки 0 6 ψ(x) 6 1.
   (ii) Если K ⊂⊂ A, то для всех ψ ∈ Ψ, за исключением может
   быть конечного числа, ψ(x) = 0 ∀x ∈ K.
   (iii) Для каждой функции ψ ∈ Ψ существует U ∈ O такое,
   что supp ψ ⊂ U .
         P
   (iv)    ψ(x) ≡ 1 для всех x ∈ A.
               ψ∈Ψ

   Доказательство. Предположим сначала, что A компактно. Тогда су-
                                                            S
                                                            N
ществует конечное подпокрытие {Uj }N
                                   j=1 ⊂ O  такое, что A ⊂     Uj .
                                                                                        j=1
В силу компактности A, для каждого Uj можно выбрать компактное
                                   SN
множество Kj ⊂ Uj так, чтобы A ⊂      Kj . По лемме 1.1 найдется
                                                        j=1
функция ϕj ∈             C0∞ (Uj ),
                          равная единице в окрестности множества Kj .
Положим ψ1 = ϕ1 , ψj = ϕj (1 − ϕ1 ) . . . (1 − ϕj−1 ), j = 2, N . Тогда
PN
   ψj = 1−(1−ϕ1 ) . . . (1−ϕN ), и семейство функций Ψ = {ψj | j = 1, N }
j=1
удовлетворяет требуемым свойствам.
   Предположим теперь, что A открыто. Пусть
                   ½     ¯                           ¾
                         ¯
             Aj = x ∈ A ¯¯ |x| 6 j, dist(x, ∂A) > 1/j ,

     1
         Такое семейство Ψ называется C ∞ -разбиением единицы для A, подчиненное покрытию O.

Страницы