Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 1
Вводная глава
§ 1. Основные обозначения
Всюду в дальнейшем Ω — область (то есть открытое множество) в
n-мерном вещественном пространстве R
n
, ее граница — ∂Ω. Набор из
n неотрицательных целых чисел α = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) будем называть
мультииндексом, |α| =
n
P
j=1
α
j
. Для мультииндексов α, β будем писать
α 6 β, если α
j
6 β
j
для всех номеров j, и α < β, если α 6 β и α
j
< β
j
хотя бы для одного номера j. Будем также использовать обозначения
D
i
u(x) =
∂u(x)
∂x
i
, D
α
u(x) =
∂
|α|
u(x)
∂
α
1
x
1
∂
α
2
x
2
. . . ∂
α
n
x
n
для частных производных функции u. Полагаем D
0
u = u.
Носителем функции u (на множестве Ω) будем называть замыкание
в Ω множества {x ∈ Ω| u(x) 6= 0} и обозначать supp u. Будем исполь-
зовать обозначение A ⊂⊂ Ω, если замыкание множества A компактно
и содержится в Ω. Таким образом, запись supp u ⊂⊂ Ω означает, что
носитель функции u компактен и содержится в Ω, в частности, u(x) = 0
в некоторой окрестности границы ∂Ω области Ω.
§ 2. Пространства непрерывных функций
Для целого неотрицательного m через C
m
(Ω) обозначим множество
всех функций, определенных на Ω, у которых существуют и непрерывны
на Ω все производные до порядка m включительно.
Для m = ∞ полагаем C
∞
(Ω) =
∞
T
k=1
C
k
(Ω). Обозначим через C
m
0
(Ω)
множество всех функций из C
m
(Ω), носители которых компактны и со-
держатся в Ω.
                               Глава 1
                          Вводная глава


                    § 1. Основные обозначения

   Всюду в дальнейшем Ω — область (то есть открытое множество) в
n-мерном вещественном пространстве Rn , ее граница — ∂Ω. Набор из
n неотрицательных целых чисел α = (α1 , α2 , . . . , αn ) будем называть
                      P
                      n
мультииндексом, |α| =   αj . Для мультииндексов α, β будем писать
                        j=1
α 6 β, если αj 6 βj для всех номеров j, и α < β, если α 6 β и αj < βj
хотя бы для одного номера j. Будем также использовать обозначения
                   ∂u(x)          α             ∂ |α| u(x)
         Di u(x) =       ,      D u(x) = α
                    ∂xi                 ∂ 1 x1 ∂ α2 x2 . . . ∂ αn xn
для частных производных функции u. Полагаем D0 u = u.
    Носителем функции u (на множестве Ω) будем называть замыкание
в Ω множества {x ∈ Ω| u(x) 6= 0} и обозначать supp u. Будем исполь-
зовать обозначение A ⊂⊂ Ω, если замыкание множества A компактно
и содержится в Ω. Таким образом, запись supp u ⊂⊂ Ω означает, что
носитель функции u компактен и содержится в Ω, в частности, u(x) = 0
в некоторой окрестности границы ∂Ω области Ω.

            § 2. Пространства непрерывных функций

    Для целого неотрицательного m через C m (Ω) обозначим множество
всех функций, определенных на Ω, у которых существуют и непрерывны
на Ω все производные до порядка m включительно.
                                    T
                                    ∞
    Для m = ∞ полагаем C ∞ (Ω) =      C k (Ω). Обозначим через C0m (Ω)
                                      k=1
множество всех функций из C m (Ω), носители которых компактны и со-
держатся в Ω.

Страницы