Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

12 Глава 1. Вводная глава
C
m,λ
(Ω) → C
m
(Ω), (2.3)
C
m,λ
(Ω) → C
m,ν
(Ω). (2.4)
Причем для ограниченных областей вложения (2.2)–(2.4) являются
компактными.
Доказательство. Вложения (2.2), (2.3) следуют из определений этих
пространств. Докажем (2.4). Для этого заметим, что при |α| 6 m спра-
ведливы неравенства
sup
x,y∈Ω
0<|x−y | <1
|D
α
ϕ(x) − D
α
ϕ(y)|
|x − y|
ν
6 sup
x,y∈Ω
x6=y
|D
α
ϕ(x) − D
α
ϕ(y)|
|x − y|
λ
,
sup
x,y∈Ω
|x−y| > 1
|D
α
ϕ(x) − D
α
ϕ(y)|
|x − y|
ν
6 2 sup
x∈Ω
|D
α
ϕ(x)|.
Таким образом,
kϕk
C
m,ν
(Ω)
6 3 kϕk
C
m,λ
(Ω)
и вложение (2.4) имеет место.
Теперь предполагаем, что Ω — ограниченное множество. Сначала
установим компактность (2.3). Для этого необходимо показать, что лю-
бое ограниченное в C
m,λ
(Ω) множество содержит сходящуюся в C
m
(Ω)
последовательность. Пусть A — ограниченное в C
m,λ
(Ω) множество, сле-
довательно, существует постоянная M > 0 такая, что
kϕk
C
0,λ
(Ω)
6 M ∀ϕ ∈ A ,
в частности,
|ϕ(x) − ϕ(y)| 6 M |x − y|
λ
∀x, y ∈ Ω, ∀ϕ ∈ A .
Поэтому по теореме Арцела множество A предкомпактно в C(Ω). Ес-
ли m = 0, то компактность (2.3) доказана. При m > 1 из предком-
пактности A в C(Ω) следует существование фундаментальной в C(Ω)
последовательности {ϕ
j
}
∞
j=1
⊂ A. Пусть ϕ ∈ C(Ω) — предел этой по-
следовательности. Множество {D
1
ϕ
j
}
∞
j=1
также ограничено в C
0,λ
(Ω),
поэтому будет существовать подпоследовательность {D
1
ϕ
j
k
}
∞
k=1
фунда-
ментальная в C(Ω). Пусть ψ — предел этой последовательности в C(Ω).
12                                                           Глава 1. Вводная глава


                              C m,λ (Ω) → C m (Ω),                            (2.3)
                              C m,λ (Ω) → C m,ν (Ω).                          (2.4)
Причем для ограниченных областей вложения (2.2)–(2.4) являются
компактными.
   Доказательство. Вложения (2.2), (2.3) следуют из определений этих
пространств. Докажем (2.4). Для этого заметим, что при |α| 6 m спра-
ведливы неравенства
                  |Dα ϕ(x) − Dα ϕ(y)|         |Dα ϕ(x) − Dα ϕ(y)|
        sup                           6 sup                       ,
        x,y∈Ω           |x − y|ν        x,y∈Ω       |x − y|λ
      0<|x−y|<1                              x6=y


                        |Dα ϕ(x) − Dα ϕ(y)|
                  sup                 ν
                                            6 2 sup |Dα ϕ(x)| .
                  x,y∈Ω       |x − y|           x∈Ω
               |x−y|>1

Таким образом,
                           kϕkC m,ν (Ω) 6 3 kϕkC m,λ (Ω)
и вложение (2.4) имеет место.
    Теперь предполагаем, что Ω — ограниченное множество. Сначала
установим компактность (2.3). Для этого необходимо показать, что лю-
бое ограниченное в C m,λ (Ω) множество содержит сходящуюся в C m (Ω)
последовательность. Пусть A — ограниченное в C m,λ (Ω) множество, сле-
довательно, существует постоянная M > 0 такая, что

                         kϕkC 0,λ (Ω) 6 M      ∀ϕ ∈ A,

в частности,

        |ϕ(x) − ϕ(y)| 6 M |x − y|λ             ∀ x, y ∈ Ω,    ∀ϕ ∈ A.

Поэтому по теореме Арцела множество A предкомпактно в C(Ω). Ес-
ли m = 0, то компактность (2.3) доказана. При m > 1 из предком-
пактности A в C(Ω) следует существование фундаментальной в C(Ω)
последовательности {ϕj }∞
                        j=1 ⊂ A. Пусть ϕ ∈ C(Ω) — предел этой по-
следовательности. Множество {D1 ϕj }∞
                                    j=1 также ограничено в C
                                                               0,λ
                                                                   (Ω),
поэтому будет существовать подпоследовательность {D1 ϕjk }∞
                                                          k=1 фунда-
ментальная в C(Ω). Пусть ψ — предел этой последовательности в C(Ω).

Страницы