Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18 Глава 1. Вводная глава
=
µ
Z
R
n
J
ε
(x − y)|u(y)|
p
dy
1/p
.
По теореме Фубини имеем
Z
Ω
|J
ε
∗ u(x)|
p
dx 6
Z
R
n
Z
R
n
J
ε
(x − y)|u(y)|
p
dy dx =
=
Z
R
n
|u(y)|
p
dy
Z
R
n
J
ε
(x − y) dx = kuk
p
p
.
Если p = 1, то последнее неравенство получается непосредственно, без
применения неравенства Гельдера. Итак, доказано, что kJ
ε
∗ uk
p
6 kuk
p
.
По теореме 1.3 множество C
∞
0
(Ω) плотно в L
p
(Ω), следовательно, для
любого δ > 0 найдется функция ϕ ∈ C
∞
0
(Ω) такая, что ku − ϕk
p
< δ.
Поэтому kJ
ε
∗ u − J
ε
∗ ϕk
p
6 ku − ϕk
p
< δ. Далее,
|J
ε
∗ ϕ(x) − ϕ(x)| =
¯
¯
¯
¯
Z
R
n
J
ε
(x − y)(ϕ(y) − ϕ(x))dy
¯
¯
¯
¯
6
6 sup
|y−x|<ε
|ϕ(y) − ϕ(x)|. (3.5)
Откуда в силу равномерной непрерывности функции ϕ на Ω и ком-
пактности ее носителя при достаточно малых значениях ε будем иметь
kJ
ε
∗ ϕ − ϕk
p
< δ. Следовательно,
kJ
ε
∗ u − uk
p
6 kJ
ε
∗ (u − ϕ)k
p
+ kJ
ε
∗ ϕ − ϕk
p
+ ku − ϕk
p
< 3δ,
что завершает доказательство утверждения (c). Доказательство утвер-
ждений (d) и (e) может быть получено заменой ϕ на D
α
u в неравенстве
(3.5) с учетом того, что D
α
J
ε
∗
u
(
x
) =
J
ε
∗
D
α
u
(
x
)
. Теорема доказана.
Определение 1.1. Функция u ∈ L
p
(Ω) называется непрерывной в
целом в L
p
(Ω), если для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что
при всех h ∈ R
n
: |h| < δ(ε) справедлива оценка
Z
Ω
|eu(x + h) − eu(x)|
p
dx 6 ε
p
, (3.6)
18                                                                  Глава 1. Вводная глава


                             µZ                          ¶1/p
                                                    p
                         =         Jε (x − y)|u(y)| dy          .
                             Rn
По теореме Фубини имеем
           Z                  Z Z
                        p
             |Jε ∗ u(x)| dx 6     Jε (x − y)|u(y)|p dy dx =
            Ω                          Rn Rn
                     Z                 Z
                 =        |u(y)| dyp
                                            Jε (x − y) dx = kukpp .
                     Rn                Rn
Если p = 1, то последнее неравенство получается непосредственно, без
применения неравенства Гельдера. Итак, доказано, что kJε ∗ ukp 6 kukp .
По теореме 1.3 множество C0∞ (Ω) плотно в Lp (Ω), следовательно, для
любого δ > 0 найдется функция ϕ ∈ C0∞ (Ω) такая, что ku − ϕkp < δ.
Поэтому kJε ∗ u − Jε ∗ ϕkp 6 ku − ϕkp < δ. Далее,
                              ¯Z                           ¯
                              ¯                            ¯
        |Jε ∗ ϕ(x) − ϕ(x)| = ¯¯ Jε (x − y)(ϕ(y) − ϕ(x))dy ¯¯ 6
                                       Rn

                             6 sup |ϕ(y) − ϕ(x)| .                                   (3.5)
                                  |y−x|<ε

Откуда в силу равномерной непрерывности функции ϕ на Ω и ком-
пактности ее носителя при достаточно малых значениях ε будем иметь
kJε ∗ ϕ − ϕkp < δ. Следовательно,

     kJε ∗ u − ukp 6 kJε ∗ (u − ϕ)kp + kJε ∗ ϕ − ϕkp + ku − ϕkp < 3δ,

что завершает доказательство утверждения (c). Доказательство утвер-
ждений (d) и (e) может быть получено заменой ϕ на Dα u в неравенстве
(3.5) с учетом того, что Dα Jε ∗ u(x) = Jε ∗ Dα u(x). Теорема доказана.
   Определение 1.1. Функция u ∈ Lp (Ω) называется непрерывной в
целом в Lp (Ω), если для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что
при всех h ∈ Rn : |h| < δ(ε) справедлива оценка
                    Z
                       |e
                        u(x + h) − ue(x)|p dx 6 εp ,            (3.6)
                      Ω

Страницы