Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

20 Глава 1. Вводная глава
Теорема 1.7. Пусть 1 6 p < ∞. Ограниченное множество K из
L
p
(Ω) предкомпактно в L
p
(Ω) тогда и только тогда, когда для любого
ε > 0 существуют δ > 0 и G ⊂⊂ Ω такие, что для всех u ∈ K и всех
h ∈ R
n
, |h| < δ, имеют место оценки
Z
Ω
|eu(x + h) − eu(x)|
p
dx 6 ε
p
, (3.10)
Z
Ω\G
|u(x)|
p
dx 6 ε
p
. (3.11)
Доказательство. Справедливость теоремы достаточно установить
при Ω = R
n
, поскольку в случае произвольной области Ω, очевидно,
множество K предкомпактно в L
p
(Ω) тогда и только тогда, когда мно-
жество
e
K = {eu | u ∈ K} предкомпактно в L
p
(R
n
).
Сначала докажем, что предкомпактность K в L
p
(R
n
) обеспечива-
ет выполнение условий (3.10), (3.11). По теореме Хаусдорфа при любом
ε > 0 для множества K существует конечная (ε/6)-сеть из L
p
(R
n
). По-
скольку по теореме 1.3 C
∞
0
(Ω) плотно в L
p
(Ω), то существует множество
S ⊂ C
∞
0
(Ω), содержащее конечное число элементов и являющееся для
K (ε/3)-сетью. Так как число функций в S конечно, то найдется число
r > 0 такое, что
supp ϕ ⊂ B
r
≡ {x ∈ R
n
| |x| 6 r} ∀ϕ ∈ S .
Для u ∈ K и соответствующего ему элемента ϕ ∈ S имеем
Z
Ω\B
r
|u(x)|
p
dx =
Z
Ω\B
r
|u(x) − ϕ(x)|
p
dx 6 (ε/3)
p
.
Из этого неравенства при G = B
r
следует (3.11).
Докажем (3.10). Поскольку supp ϕ ⊂ B
r
для ϕ ∈ S, то по теореме
1.6 функции ϕ ∈ S непрерывны в целом в L
p
(B
r
). Следовательно,
lim
|h|→0
Z
R
n
|ϕ(x + h) − ϕ(x)|
p
dx = lim
|h|→0
Z
B
r
|ϕ(x + h) − ϕ(x)|
p
dx → 0 .
20                                                       Глава 1. Вводная глава


    Теорема 1.7. Пусть 1 6 p < ∞. Ограниченное множество K из
Lp (Ω) предкомпактно в Lp (Ω) тогда и только тогда, когда для любого
ε > 0 существуют δ > 0 и G ⊂⊂ Ω такие, что для всех u ∈ K и всех
h ∈ Rn , |h| < δ, имеют место оценки
                     Z
                       |e          e(x)|p dx 6 εp ,
                        u(x + h) − u                           (3.10)
                         Ω
                              Z
                                    |u(x)|p dx 6 εp .                   (3.11)
                             Ω\G


    Доказательство. Справедливость теоремы достаточно установить
при Ω = Rn , поскольку в случае произвольной области Ω, очевидно,
множество K предкомпактно в Lp (Ω) тогда и только тогда, когда мно-
жество Ke = {eu | u ∈ K} предкомпактно в Lp (Rn ).
    Сначала докажем, что предкомпактность K в Lp (Rn ) обеспечива-
ет выполнение условий (3.10), (3.11). По теореме Хаусдорфа при любом
ε > 0 для множества K существует конечная (ε/6)-сеть из Lp (Rn ). По-
скольку по теореме 1.3 C0∞ (Ω) плотно в Lp (Ω), то существует множество
S ⊂ C0∞ (Ω), содержащее конечное число элементов и являющееся для
K (ε/3)-сетью. Так как число функций в S конечно, то найдется число
r > 0 такое, что

                 supp ϕ ⊂ B r ≡ {x ∈ Rn | |x| 6 r}      ∀ϕ ∈ S .

Для u ∈ K и соответствующего ему элемента ϕ ∈ S имеем
          Z               Z
                    p
              |u(x)| dx =     |u(x) − ϕ(x)|p dx 6 (ε/3)p .
               Ω\B r              Ω\B r

Из этого неравенства при G = Br следует (3.11).
     Докажем (3.10). Поскольку supp ϕ ⊂ B r для ϕ ∈ S, то по теореме
1.6 функции ϕ ∈ S непрерывны в целом в Lp (Br ). Следовательно,
       Z                              Z
   lim    |ϕ(x + h) − ϕ(x)|p dx = lim   |ϕ(x + h) − ϕ(x)|p dx → 0 .
     |h|→0                                |h|→0
          Rn                                      Br

Страницы