Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Определение пространства Соболева, основные свойства 29
Доказательство. Пусть G ⊂⊂ Ω — произвольная область. По теоре-
ме 1.5 функция u
ε
= J
ε
∗u ∈ C
∞
(Ω), и при достаточно малых ε для каж-
дого x ∈ G функция ϕ
x
(y) = J ((x − y)/ε) принадлежит пространству
D(Ω) как функция переменной y. Поэтому, так как D
j
u = f в слабом
смысле, мы можем записать
D
j
u
ε
= ε
−n
Z
R
n
u(y)D
x
j
J(
x − y
ε
)dy = −ε
−n
Z
R
n
u(y)D
y
j
ϕ
x
(y)dy =
= ε
−n
Z
R
n
f(y)ϕ
x
(y)dy = J
ε
∗ f(x).
По утверждению (d) теоремы 1.5 при m = 0 на области G имеет место
равномерная сходимость u
ε
→ u и D
j
u
ε
= J
ε
∗ f → f при ε → 0.
Следовательно, D
j
u = f всюду в области G. В силу произвольности
области G ⊂⊂ Ω это означает, что D
j
u = f всюду в области Ω.
Теорема 2.3. Для любого мультииндекса α оператор обобщенного
дифференцирования D
α
является замкнутым оператором в L
p
(Ω), то
есть v = D
α
u, если u
n
→ u и D
α
u
n
→ v в L
p
(Ω).
Доказательство. Достаточно показать, что если u
n
→ 0 и D
α
u
n
→ v
в L
p
(Ω), то v = 0. Для произвольной функции ϕ ∈ D(Ω)
Z
Ω
v(x)ϕ(x)dx = lim
n→∞
Z
Ω
D
α
u
n
ϕdx = (−1)
|α|
lim
n→∞
Z
Ω
u
n
D
α
ϕdx = 0.
По теореме 2.1 v = 0. Теорема доказана.
§ 2. Определение пространства Соболева, основные свойства
Для целого неотрицательного m и p ∈ [1, ∞] положим
kuk
m,p
=
µ
P
06α6m
kD
α
uk
p
p
1/p
, p ∈ [1, ∞),
max
06|α|6m
kD
α
uk
∞
, p = ∞,
(производные здесь и всюду далее понимаются в обобщенном смысле).
На любом векторном пространстве, состоящим из функций, для кото-
§ 2. Определение пространства Соболева, основные свойства            29


    Доказательство. Пусть G ⊂⊂ Ω — произвольная область. По теоре-
ме 1.5 функция uε = Jε ∗ u ∈ C ∞ (Ω), и при достаточно малых ε для каж-
дого x ∈ G функция ϕx (y) = J ((x − y)/ε) принадлежит пространству
D(Ω) как функция переменной y. Поэтому, так как Dj u = f в слабом
смысле, мы можем записать
               Z                              Z
            −n               x−y           −n
   Dj uε = ε      u(y)Dxj J(      )dy = −ε       u(y)Dyj ϕx (y)dy =
                              ε
               Rn                             Rn
                          Z
                    = ε−n f (y)ϕx (y)dy = Jε ∗ f (x).
                            Rn

По утверждению (d) теоремы 1.5 при m = 0 на области G имеет место
равномерная сходимость uε → u и Dj uε = Jε ∗ f → f при ε → 0.
Следовательно, Dj u = f всюду в области G. В силу произвольности
области G ⊂⊂ Ω это означает, что Dj u = f всюду в области Ω.
   Теорема 2.3. Для любого мультииндекса α оператор обобщенного
дифференцирования Dα является замкнутым оператором в Lp (Ω), то
есть v = Dα u, если un → u и Dα un → v в Lp (Ω).
   Доказательство. Достаточно показать, что если un → 0 и Dα un → v
в Lp (Ω), то v = 0. Для произвольной функции ϕ ∈ D(Ω)
    Z                     Z                      Z
                              α            |α|
       v(x)ϕ(x)dx = lim     D un ϕdx = (−1) lim    un Dα ϕdx = 0.
                      n→∞                          n→∞
    Ω                       Ω                            Ω

По теореме 2.1 v = 0. Теорема доказана.

 § 2. Определение пространства Соболева, основные свойства

    Для целого неотрицательного m и p ∈ [1, ∞] положим
                     µ                ¶1/p
                     
                           P
                                 α  p
                                kD ukp      , p ∈ [1, ∞),
            kukm,p =      06α6m
                     
                           max kDα uk∞ ,       p = ∞,
                     
                                 06|α|6m

(производные здесь и всюду далее понимаются в обобщенном смысле).
На любом векторном пространстве, состоящим из функций, для кото-

Страницы