Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Определение пространства Соболева, основные свойства 31
подпространством, в частности, и подпространством P (W
m
p
(Ω)), что за-
вершает доказательство, в силу изоморфизма P .
Из полноты пространства W
m
p
(Ω) немедленно вытекает
Следствие 2.1. H
m
p
(Ω) ⊂ W
m
p
(Ω).
Лемма 2.1. Пусть 1 6 p < ∞, u ∈ W
m
p
(Ω). Если подобласть
Ω
0
⊂⊂ Ω, то lim
ε→0
J
ε
∗ u = u в W
m
p
(Ω
0
).
Доказательство. Пусть ε < dist(Ω
0
, ∂Ω). Для произвольной функции
ϕ ∈ D(Ω
0
) имеем
Z
Ω
0
J
ε
∗ u(x) D
α
ϕ(x) dx =
Z
R
n
J
ε
(y)
µ
Z
Ω
0
eu(x − y)D
α
ϕ(x) dx
dy =
= (−1)
|α|
Z
R
n
J
ε
(y)
µ
Z
Ω
0
D
α
x
eu(x − y) ϕ(x) dx
dy =
= (−1)
|α|
Z
Ω
0
(J
ε
∗ D
α
u(x)) ϕ(x) dx ,
где eu обозначает продолжение функции u нулем вне Ω
0
. Таким образом,
D
α
J
ε
∗ u = J
ε
∗ D
α
u в слабом смысле в Ω
0
. Так как D
α
u ∈ L
p
(Ω) при
0 6 |α| 6 m, то по теореме 1.5 (c)
lim
ε→0
kD
α
J
ε
∗ u − D
α
uk
p,Ω
0
= lim
ε→0
kJ
ε
∗ D
α
u − D
α
uk
p,Ω
0
= 0.
Таким образом, lim
ε→0
kJ
ε
∗ u − uk
m,p,Ω
0
= 0. Лемма доказана.
Теорема 2.5. Если 1 6 p < ∞, то H
m
p
(Ω) = W
m
p
(Ω).
Доказательство. По следствию 2.1 достаточно доказать, что W
m
p
(Ω)
вкладывается в H
m
p
(Ω). Для этого установим, что для любого ε > 0 и
всякого u ∈ W
m
p
(Ω) найдется функция ϕ ∈ C
∞
(Ω) со свойством
ku − ϕk
m,p
< ε .
Пусть Ω
0
= Ω
−1
= ∅ и для натурального k положим
Ω
k
= {x ∈ Ω | |x| < k, dist(x, ∂Ω) > 1/k}.
§ 2. Определение пространства Соболева, основные свойства               31


подпространством, в частности, и подпространством P (Wpm (Ω)), что за-
вершает доказательство, в силу изоморфизма P .
   Из полноты пространства Wpm (Ω) немедленно вытекает
    Следствие 2.1. Hpm (Ω) ⊂ Wpm (Ω).
    Лемма 2.1. Пусть 1 6 p < ∞, u ∈ Wpm (Ω). Если подобласть
Ω0 ⊂⊂ Ω, то lim Jε ∗ u = u в Wpm (Ω0 ).
                 ε→0
   Доказательство. Пусть ε < dist(Ω0 , ∂Ω). Для произвольной функции
ϕ ∈ D(Ω0 ) имеем
    Z                        Z       µZ                    ¶
      Jε ∗ u(x) Dα ϕ(x) dx =   Jε (y)    e(x − y)Dα ϕ(x) dx dy =
                                         u
    Ω0                                Rn             Ω0
                             Z          µZ                    ¶
                       |α|                  α
               = (−1)             Jε (y)   Dx u
                                              e(x − y) ϕ(x) dx dy =
                             Rn           Ω0
                                     Z
                       = (−1)|α|          (Jε ∗ Dα u(x)) ϕ(x) dx ,
                                     Ω0
    e обозначает продолжение функции u нулем вне Ω0 . Таким образом,
где u
Dα Jε ∗ u = Jε ∗ Dα u в слабом смысле в Ω0 . Так как Dα u ∈ Lp (Ω) при
0 6 |α| 6 m, то по теореме 1.5 (c)

         lim kDα Jε ∗ u − Dα ukp,Ω0 = lim kJε ∗ Dα u − Dα ukp,Ω0 = 0.
         ε→0                                   ε→0

Таким образом, lim kJε ∗ u − ukm,p,Ω0 = 0. Лемма доказана.
                  ε→0
    Теорема 2.5. Если 1 6 p < ∞, то Hpm (Ω) = Wpm (Ω).
   Доказательство. По следствию 2.1 достаточно доказать, что Wpm (Ω)
вкладывается в Hpm (Ω). Для этого установим, что для любого ε > 0 и
всякого u ∈ Wpm (Ω) найдется функция ϕ ∈ C ∞ (Ω) со свойством

                                     ku − ϕkm,p < ε .

Пусть Ω0 = Ω−1 = ∅ и для натурального k положим

                 Ωk = {x ∈ Ω | |x| < k, dist(x, ∂Ω) > 1/k} .

Страницы