Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Преобразование координат 37
где M
αβ
есть полином степени не выше |β| от производных порядка не
выше |α| различных компонент Ψ. Для ϕ ∈ D(G) из (4.3) получим
(−1)
|α|
Z
G
Au
k
(y)D
α
ϕ(y)dy =
X
16|β|6|α|
Z
G
M
αβ
(y)(AD
β
u
k
)(y)dy, (4.4)
или, после замены переменных y = Φ(x),
(−1)
|α|
Z
Ω
u
k
(x)(D
α
ϕ)(Φ(x))|det Φ
0
(x)|dx =
=
X
16|β|6|α|
Z
Ω
M
αβ
(Φ(x))D
β
u
k
(x)|det Φ
0
(x)|dx.
Так как D
β
u
k
→ u в L
p
(Ω) для |β| 6 m, то мы можем перейти в по-
следнем интегральном тождестве к пределу по k → ∞ и обратным пре-
образованием x = Ψ(y) получить (4.4) с заменой u
k
на u. Это означает
справедливость (4.3) в слабом смысле для любой u ∈ W
m
p
(Ω). Теперь из
(4.3) непосредственно следует, что
Z
G
|D
α
(Au)(y)|
p
dy 6
6 (
X
16|β|6|α|
1)
p
max
16|β|6|α|
sup
y∈G
|M
αβ
(y)|
p
Z
G
|(D
β
u)(Ψ(y))|
p
dy 6
6 c max
16|β|6|α|
Z
Ω
|D
β
u(x)|
p
dx,
откуда вытекает оценка (4.2). Обратное неравенство:
kuk
m,p,Ω
6 c
0
kAuk
m,p,G
,
из которого следует существование и ограниченность оператора A
−1
,
доказывается аналогично. Теорема доказана.
§ 4. Преобразование координат                                                     37


где Mαβ есть полином степени не выше |β| от производных порядка не
выше |α| различных компонент Ψ. Для ϕ ∈ D(G) из (4.3) получим
           Z                    X Z
       |α|           α
   (−1)      Auk (y)D ϕ(y)dy =         Mαβ (y)(ADβ uk )(y)dy, (4.4)
           G                               16|β|6|α| G

или, после замены переменных y = Φ(x),
                    Z
             (−1)|α| uk (x)(Dα ϕ)(Φ(x))| det Φ0 (x)|dx =
                      Ω
                     X Z
               =                 Mαβ (Φ(x))Dβ uk (x)| det Φ0 (x)|dx.
                   16|β|6|α| Ω


Так как Dβ uk → u в Lp (Ω) для |β| 6 m, то мы можем перейти в по-
следнем интегральном тождестве к пределу по k → ∞ и обратным пре-
образованием x = Ψ(y) получить (4.4) с заменой uk на u. Это означает
справедливость (4.3) в слабом смысле для любой u ∈ Wpm (Ω). Теперь из
(4.3) непосредственно следует, что
                        Z
                          |Dα (Au)(y)|p dy 6
                                 G
           X                                            Z
                       p                                                 p
      6(             1)     max sup |Mαβ (y)|p              |(Dβ u)(Ψ(y))| dy 6
                           16|β|6|α| y∈G
         16|β|6|α|                                      G
                                                 Z
                                                              p
                                 6 c max             |Dβ u(x)| dx,
                                     16|β|6|α|
                                                 Ω

откуда вытекает оценка (4.2). Обратное неравенство:

                                 kukm,p,Ω 6 c0 kAukm,p,G ,

из которого следует существование и ограниченность оператора A−1 ,
доказывается аналогично. Теорема доказана.

Страницы