Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Геометрические свойства областей 39
Открытое покрытие множества S ⊂ R
n
называют локально конеч-
ным, если любое компактное множество из R
n
имеет непустое пересече-
ние лишь с конечным числом элементов этого покрытия. Очевидно, что
локально конечное покрытие не более, чем счетно. Если S замкнуто, то
любое открытое покрытие S обладает локально конечным подпокрыти-
ем.
Определение 3.1. Будем говорить, что область Ω обладает свой-
ством сегмента,
3
если существуют локально конечное покрытие {U
j
}
множества ∂Ω и ненулевые векторы {y
j
} такие, что для всех x ∈ Ω ∩U
j
сегмент x + ty
j
, 0 < t < 1, принадлежит Ω.
Определение 3.2. Будем говорить, что область Ω обладает свой-
ством конуса, если существует конечный конус C такой, что каждая точ-
ка x ∈ Ω является вершиной конечного конуса C
x
, содержащегося в Ω и
конгруэнтного C.
Определение 3.3. Будем говорить, что область Ω обладает равно-
мерным свойством конуса, если существуют локально конечное покры-
тие {U
j
} множества ∂Ω и конечные конусы {C
j
}, каждый из которых
конгруэнтен некоторому фиксированному конусу C, такие, что
1) диаметры всех U
j
ограничены некоторым числом M;
2) существует δ > 0 такое, что
∞
[
j=1
U
j
⊃ Ω
δ
≡ {x ∈ Ω | dist(x, ∂Ω) < δ};
3) для каждого j
[
x∈Ω∩U
j
(x + C
j
) ≡ Q
j
⊂ Ω;
4) найдется конечное R такое, что любой набор множеств Q
j
, число
которых больше R, имеет пустое пересечение.
Определение 3.4. Будем говорить, что область Ω обладает силь-
ным локальным свойством Липшица, если существуют положительные
3
Это свойство уже встречалось в предыдущей главе. Здесь оно приведено для наглядности при
сравнении с другими свойствами.
§ 1. Геометрические свойства областей                                                    39


    Открытое покрытие множества S ⊂ Rn называют локально конеч-
ным, если любое компактное множество из Rn имеет непустое пересече-
ние лишь с конечным числом элементов этого покрытия. Очевидно, что
локально конечное покрытие не более, чем счетно. Если S замкнуто, то
любое открытое покрытие S обладает локально конечным подпокрыти-
ем.
    Определение 3.1. Будем говорить, что область Ω обладает свой-
ством сегмента,3 если существуют локально конечное покрытие {Uj }
множества ∂Ω и ненулевые векторы {yj } такие, что для всех x ∈ Ω ∩ Uj
сегмент x + tyj , 0 < t < 1, принадлежит Ω.
    Определение 3.2. Будем говорить, что область Ω обладает свой-
ством конуса, если существует конечный конус C такой, что каждая точ-
ка x ∈ Ω является вершиной конечного конуса Cx , содержащегося в Ω и
конгруэнтного C.
    Определение 3.3. Будем говорить, что область Ω обладает равно-
мерным свойством конуса, если существуют локально конечное покры-
тие {Uj } множества ∂Ω и конечные конусы {Cj }, каждый из которых
конгруэнтен некоторому фиксированному конусу C, такие, что
    1) диаметры всех Uj ограничены некоторым числом M ;
    2) существует δ > 0 такое, что
                     ∞
                     [
                           Uj ⊃ Ωδ ≡ {x ∈ Ω | dist(x, ∂Ω) < δ};
                     j=1

      3) для каждого j
                               [
                                       (x + Cj ) ≡ Qj ⊂ Ω;
                              x∈Ω∩Uj

      4) найдется конечное R такое, что любой набор множеств Qj , число
      которых больше R, имеет пустое пересечение.
   Определение 3.4. Будем говорить, что область Ω обладает силь-
ным локальным свойством Липшица, если существуют положительные
  3
    Это свойство уже встречалось в предыдущей главе. Здесь оно приведено для наглядности при
сравнении с другими свойствами.

Страницы