Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Геометрические свойства областей 45
Определим функцию
F (ξ
1
, . . . , ξ
n−1
) = sup
x∈L(ξ
1
,...,ξ
n−1
)
η
n
(x), (1.6)
где
L(ξ
1
, . . . , ξ
n−1
) = {x ∈ B ∩ Ω | η
i
(x) = ξ
i
, i = 1, . . . , n − 1}.
Нетрудно видеть, что неравенство ξ
n
< F (ξ
0
), где ξ
0
= (ξ
1
, . . . , ξ
n−1
),
описывает в B множество B ∩Ω
(l
∗
)
, и для x ∈ Γ
B
справедливо равенство
η
n
(x) = F (η
0
(x)), η
0
(x) = (η
1
(x), . . . , η
n−1
(x)). (1.7)
Докажем, что функция F непрерывна по Липшицу. Пусть x, ¯x ∈ Γ
B
.
Не ограничивая общности, можно полагать, что F (η
0
(x)) > F (η
0
(¯x)).
Имеем
0 6 F (η
0
(x)) − F (η
0
(¯x)) = η
n
(x) − η
n
(¯x) =
= lim
ε→0
η
n
¡
x − ε e(η
n
)
¢
− η
n
(¯x) . (1.8)
Ясно, что (x − ε e(η
n
)) ∈ B ∩ Ω, поэтому найдется точка y
ε
∈ A такая,
что вершиной v
l
∗
параллелепипеда y
ε
+ P будет (x −εe(η
n
)). Обозначим
через z
ε
точку пересечения прямой L(η
0
(¯x)) с гранью параллелепипеда
y
ε
+ P, примыкающей к (x − εe(η
n
)). По построению
η
n
(z
ε
) 6 η
n
(¯x).
Поэтому
lim
ε→0
η
n
¡
x − ε e(η
n
)
¢
− η
n
(¯x) = lim
ε→0
©
η
n
¡
x − ε e(η
n
)
¢
− η
n
(z
ε
)
ª
+
+ lim
ε→0
{η
n
(z
ε
) − η
n
(¯x)} 6 lim
ε→0
©
η
n
¡
x − ε e(η
n
)
¢
− η
n
(z
ε
)
ª
. (1.9)
Так как точки (x − εe(η
n
)) и z
ε
принадлежат одной грани конечного
параллелепипеда y
ε
+ P , то найдется константа M
l
∗
такая, что
η
n
¡
x − ε e(η
n
)
¢
− η
n
(z
ε
) 6
6 M
l
∗
|η
0
¡
x − ε e(η
n
)
¢
− η
0
(z
ε
)| ≡ M
l
∗
|η
0
(x) − η
0
(¯x)|. (1.10)
Положим
M = max
l
M
l
.
§ 1. Геометрические свойства областей                                                    45


      Определим функцию

                          F (ξ1 , . . . , ξn−1 ) =         sup            ηn (x),      (1.6)
                                                     x∈L(ξ1 ,...,ξn−1 )

где

        L(ξ1 , . . . , ξn−1 ) = {x ∈ B ∩ Ω | ηi (x) = ξi , i = 1, . . . , n − 1} .

Нетрудно видеть, что неравенство ξn < F (ξ 0 ), где ξ 0 = (ξ1 , . . . , ξn−1 ),
                               ∗
описывает в B множество B ∩ Ω(l ) , и для x ∈ ΓB справедливо равенство

                  ηn (x) = F (η 0 (x)),        η 0 (x) = (η1 (x), . . . , ηn−1 (x)).   (1.7)

   Докажем, что функция F непрерывна по Липшицу. Пусть x, x̄ ∈ ΓB .
Не ограничивая общности, можно полагать, что F (η 0 (x)) > F (η 0 (x̄)).
Имеем
            0 6 F (η 0 (x)) − F (η 0 (x̄)) = ηn (x) − ηn (x̄) =
                             ¡              ¢
                  = lim ηn x − ε e(ηn ) − ηn (x̄) .               (1.8)
                                ε→0
Ясно, что (x − ε e(ηn )) ∈ B ∩ Ω, поэтому найдется точка yε ∈ A такая,
что вершиной vl∗ параллелепипеда yε + P будет (x − εe(ηn )). Обозначим
через zε точку пересечения прямой L(η 0 (x̄)) с гранью параллелепипеда
yε + P , примыкающей к (x − εe(ηn )). По построению

                                        ηn (zε ) 6 ηn (x̄).

Поэтому
            ¡            ¢               © ¡             ¢          ª
      lim ηn x − ε e(ηn ) − ηn (x̄) = lim ηn x − ε e(ηn ) − ηn (zε ) +
      ε→0                                        ε→0
                                      © ¡             ¢          ª
      + lim {ηn (zε ) − ηn (x̄)} 6 lim ηn x − ε e(ηn ) − ηn (zε ) .                    (1.9)
            ε→0                            ε→0
Так как точки (x − εe(ηn )) и zε принадлежат одной грани конечного
параллелепипеда yε + P , то найдется константа Ml∗ такая, что
                        ¡              ¢
                      ηn x − ε e(ηn ) − ηn (zε ) 6
               ¡            ¢
     6 Ml∗ |η 0 x − ε e(ηn ) − η 0 (zε )| ≡ Ml∗ |η 0 (x) − η 0 (x̄)|. (1.10)
Положим
                                          M = max Ml .
                                                      l

Страницы