Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 3. Теоремы вложения
предполагают выполнения более жестких условий. Ниже будет установ-
лено, что постоянная в теоремах вложения для областей, обладающих
свойством конуса, зависит от размеров конечного конуса C, участвующе-
го в описании этого свойства. Определим необходимые при этом харак-
теристики конуса C: его высоту и раствор. Пусть ¯x — вершина конуса C,
а C
∗
= {x ∈ R
n
| x = ¯x + αy, α > 0, y ∈ C}. Обозначим через C
R
пере-
сечение C
∗
с шаром радиуса R с центром в точке ¯x. Высотой конуса C
будем называть максимальное R среди тех, для которых C
R
⊂ C. Рас-
твором конуса C будем называть площадь (n − 1)-мерной поверхности,
полученной в результате пересечения конуса C
∗
со сферой единичного
радиуса с центром в начале координат.
При доказательстве теорем вложения нам понадобятся следующие
вспомогательные результаты.
Лемма 3.1. Пусть R и R
0
— ограниченные открытые прямоуголь-
ные параллелепипеды в R
n
и R
n−1
соответственно:
R = {x ∈ R
n
| a
i
< x
i
< b
i
, 1 6 i 6 n},
R
0
= {x ∈ R
n−1
| a
i
< x
i
< b
i
, 1 6 i 6 n − 1}.
Если p > 1, то для любого u ∈ C
∞
(R) ∩W
m
p
(R) имеет место неравен-
ство
ku(·, ζ)k
0,p,R
0
6 K kuk
1,p,R
∀ζ ∈ (a
n
, b
n
).
(2.3)
Здесь K = K(p, b
n
− a
n
).
Доказательство. Согласно теореме 2.6 пространство C
∞
(R) плотно
в W
m
p
(R). Поэтому достаточно убедиться в справедливости (2.3) для
u ∈ C
∞
(R). Если u ∈ C
∞
(R), то
Z
R
0
|u(x
0
, ·)|
p
dx
0
∈ C
∞
([a
n
, b
n
]) ,
и по теореме о среднем найдется σ ∈ [a
n
, b
n
] такое, что
kuk
p
0,p,R
=
b
n
Z
a
n
µ
Z
R
0
|u(x
0
, x
n
)|
p
dx
0
dx
n
= (b
n
− a
n
)
Z
R
0
|u(x
0
, σ)|
p
dx
0
.
48                                                                   Глава 3. Теоремы вложения


предполагают выполнения более жестких условий. Ниже будет установ-
лено, что постоянная в теоремах вложения для областей, обладающих
свойством конуса, зависит от размеров конечного конуса C, участвующе-
го в описании этого свойства. Определим необходимые при этом харак-
теристики конуса C: его высоту и раствор. Пусть x̄ — вершина конуса C,
а C ∗ = {x ∈ Rn | x = x̄ + αy, α > 0, y ∈ C}. Обозначим через CR пере-
сечение C ∗ с шаром радиуса R с центром в точке x̄. Высотой конуса C
будем называть максимальное R среди тех, для которых CR ⊂ C. Рас-
твором конуса C будем называть площадь (n − 1)-мерной поверхности,
полученной в результате пересечения конуса C ∗ со сферой единичного
радиуса с центром в начале координат.
    При доказательстве теорем вложения нам понадобятся следующие
вспомогательные результаты.
   Лемма 3.1. Пусть R и R0 — ограниченные открытые прямоуголь-
ные параллелепипеды в Rn и Rn−1 соответственно:

                          R = {x ∈ Rn | ai < xi < bi , 1 6 i 6 n},

                     R0 = {x ∈ Rn−1 | ai < xi < bi , 1 6 i 6 n − 1}.
Если p > 1, то для любого u ∈ C ∞ (R) ∩ Wpm (R) имеет место неравен-
ство
               ku(·, ζ)k0,p,R0 6 K kuk1,p,R ∀ζ ∈ (an , bn ).    (2.3)
Здесь K = K(p, bn − an ).
   Доказательство. Согласно теореме 2.6 пространство C ∞ (R) плотно
в Wpm (R). Поэтому достаточно убедиться в справедливости (2.3) для
u ∈ C ∞ (R). Если u ∈ C ∞ (R), то
                    Z
                      |u(x0 , ·)|p dx0 ∈ C ∞ ([an , bn ]) ,
                               R0

и по теореме о среднем найдется σ ∈ [an , bn ] такое, что
                     ZbnµZ                           ¶                      Z
     kukp0,p,R   =                  0    p
                               |u(x , xn )| dx   0
                                                         dxn = (bn − an )        |u(x0 , σ)|p dx0 .
                     an   R0                                                R0

Страницы