Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

50 Глава 3. Теоремы вложения
с постоянной K
2
, зависящей от b
n
−a
n
. Повторяя эту процедуру после-
довательно по всем координатам, нетрудно получить следующее нера-
венство
ku(·, x
2
, x
3
, . . . , x
n
)k
1,1,(a
1
,b
1
)
6 K
3
kuk
n,1,R
,
с постоянной K
3
, зависящей от b
j
−a
j
, 2 6 j 6 n. По теореме о среднем
найдется σ ∈ [a
1
, b
1
] такое, что
ku(·, x
2
, . . . , x
n
)k
1,1,(a
1
,b
1
)
= (b
1
− a
1
) |u(σ, x
2
, . . . , x
n
)|,
следовательно,
|u(x)| = |u(σ, x
2
, . . . , x
n
)| +
x
1
Z
σ
|D
1
u(t, x
2
, . . . , x
n
)|dt 6
6 (b
1
− a
1
)
−1
ku(·, x
2
, . . . , x
n
)k
0,1,(a
1
,b
1
)
+
+ kD
1
u(·, x
2
, . . . , x
n
)k
0,1,(a
1
,b
1
)
6 K kuk
n,1,R
.
(2.4)
Теперь предположим, что u ∈ W
n
1
(R). Согласно теореме 2.6 найдется
последовательность u
m
⊂ C
∞
(R), сходящаяся к u в W
n
1
(R). Восполь-
зовавшись (2.4), нетрудно показать, что последовательность u
m
фунда-
ментальна в C(R). В силу полноты этого пространства предел последова-
тельности u
m
, назовем его ˜u, принадлежит C(R). Поскольку, очевидно,
W
n
1
(R) → L
1
(R) и C(R) → L
1
(R), то u и ˜u как элементы простран-
ства L
1
(R) должны совпадать, то есть u = ˜u почти всюду в R. Лемма
доказана.
Следствие 3.1. Пусть P — n-мерный параллелепипед, тогда
W
n
1
(P ) → C(P),
постоянная вложения зависит от n и P.
Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно пока-
зать, что
|u(x)| 6 K kuk
n,1,P
∀u ∈ C
∞
(P ), ∀x ∈ P . (2.5)
Пусть R — n-мерный куб со стороной равной единице, χ — полилиней-
ное отображение R в P , а ˜u(y) = u(χ(y)) ∀y ∈ R. Тогда по теореме
2.7
k˜uk
n,1,R
6 K
P
kuk
n,1,P
,
50                                                                Глава 3. Теоремы вложения


с постоянной K2 , зависящей от bn − an . Повторяя эту процедуру после-
довательно по всем координатам, нетрудно получить следующее нера-
венство
              ku(·, x2 , x3 , . . . , xn )k1,1,(a1 ,b1 ) 6 K3 kukn,1,R ,
с постоянной K3 , зависящей от bj − aj , 2 6 j 6 n. По теореме о среднем
найдется σ ∈ [a1 , b1 ] такое, что
          ku(·, x2 , . . . , xn )k1,1,(a1 ,b1 ) = (b1 − a1 ) |u(σ, x2 , . . . , xn )|,
следовательно,
                                                 Zx1
         |u(x)| = |u(σ, x2 , . . . , xn )| +           |D1 u(t, x2 , . . . , xn )| dt 6
                                                 σ

                   6 (b1 − a1 )−1 ku(·, x2 , . . . , xn )k0,1,(a1 ,b1 ) +
                + kD1 u(·, x2 , . . . , xn )k0,1,(a1 ,b1 ) 6 K kukn,1,R .                 (2.4)
Теперь предположим, что u ∈ W1n (R). Согласно теореме 2.6 найдется
последовательность um ⊂ C ∞ (R), сходящаяся к u в W1n (R). Восполь-
зовавшись (2.4), нетрудно показать, что последовательность um фунда-
ментальна в C(R). В силу полноты этого пространства предел последова-
тельности um , назовем его ũ, принадлежит C(R). Поскольку, очевидно,
W1n (R) → L1 (R) и C(R) → L1 (R), то u и ũ как элементы простран-
ства L1 (R) должны совпадать, то есть u = ũ почти всюду в R. Лемма
доказана.
     Следствие 3.1. Пусть P — n-мерный параллелепипед, тогда
                                   W1n (P ) → C(P ),
постоянная вложения зависит от n и P.
    Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно пока-
зать, что
             |u(x)| 6 K kukn,1,P               ∀ u ∈ C ∞ (P ),        ∀x ∈ P .            (2.5)
Пусть R — n-мерный куб со стороной равной единице, χ — полилиней-
ное отображение R в P , а ũ(y) = u(χ(y)) ∀y ∈ R. Тогда по теореме
2.7
                     kũkn,1,R 6 KP kukn,1,P ,

Страницы