Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

52 Глава 3. Теоремы вложения
параметр k может принимать два значения: k = 1 или k = 2. Заметим,
что вариант k = 2 (при произвольном n — вариант k = n) тривиален,
поскольку левая и правая части неравенства (2.6) при k = n совпадают.
Докажем (2.6) при n = 2, k = 1. При этом параметр λ = 1, а множество
Im(k) состоит из двух наборов Im(k) = {(1), (2)}, обозначим эти набо-
ры J
1
и J
2
соответственно. Поскольку x
J
1
≡ x
1
, а x
J
2
≡ x
2
, то на этом
этапе доказательства упростим обозначения, полагая F
J
i
≡ F
i
, G
J
i
≡ G
i
,
i = 1, 2. Имеем
I ≡
Z
Ω
|F (x)|dx =
Z
Ω
|F
1
(x
1
)F
2
(x
2
)|dx
1
dx
2
=
=
Z
Ω
1
dx
1
Z
Ω(x
1
)
|F
1
(x
1
)||F
2
(x
2
)|dx
2
,
здесь
Ω(x
1
) = {ξ ∈ R
1
| (x
1
, ξ) ∈ Ω} .
Учитывая, что Ω(x
1
) ⊂ Ω
2
, оценим I следующим образом:
I 6
Z
Ω
1
|F
1
(x
1
)|dx
1
Z
Ω
2
|F
2
(x
2
)|dx
2
=
µ
Z
Ω
1
|F
1
(x
1
)|dx
1
¶µ
Z
Ω
2
|F
2
(x
2
)|dx
2
.
Итак, неравенство (2.6) при n = 2, k = 1 доказано. Аналогично устанав-
ливается справедливость (2.6) для k = 1 при любом n.
Далее предположим, что (2.6) выполнено, если 2 6 n 6 N − 1 и
1 6 k 6 N − 1. Докажем справедливость (2.6) при n = N для всех
1 6 k 6 N. Как уже упоминалось выше, для k = 1 и k = N неравенство
(2.6) выполнено, поэтому в дальнейшем полагаем, что 2 6 k 6 N − 1.
Обозначим через Im
0
(k) ⊂ Im(k) — множество наборов J(k), не содер-
жащих номер N. Пусть Im
00
(k) = Im(k) \ Im
0
(k),
Ω
N
= {ξ ∈ R
1
| ∃y ∈ Ω : y
N
= ξ},
Ω
x
N
= {ξ ∈ R
N−1
| ∃y ∈ Ω : y = (ξ, x
N
)},
а µ = C
k−1
N−2
, ν = C
k−2
N−2
. Нетрудно проверить, что µ/λ + ν/λ = 1. Имеем
I ≡
Z
Ω
|F (x)|dx =
Z
Ω
Y
J(k)∈Im(k)
|F
J(k)
(x
J(k)
)|dx =
52                                                              Глава 3. Теоремы вложения


параметр k может принимать два значения: k = 1 или k = 2. Заметим,
что вариант k = 2 (при произвольном n — вариант k = n) тривиален,
поскольку левая и правая части неравенства (2.6) при k = n совпадают.
Докажем (2.6) при n = 2, k = 1. При этом параметр λ = 1, а множество
Im(k) состоит из двух наборов Im(k) = {(1), (2)}, обозначим эти набо-
ры J1 и J2 соответственно. Поскольку xJ1 ≡ x1 , а xJ2 ≡ x2 , то на этом
этапе доказательства упростим обозначения, полагая FJi ≡ Fi , GJi ≡ Gi ,
i = 1, 2. Имеем
                  Z              Z
              I ≡   |F (x)| dx =   |F1 (x1 )F2 (x2 )| dx1 dx2 =
                    Ω                        Ω
                            Z          Z
                        =        dx1        |F1 (x1 )| |F2 (x2 )| dx2 ,
                            Ω1     Ω(x1 )
здесь
                        Ω(x1 ) = { ξ ∈ R1 | (x1 , ξ) ∈ Ω}.
Учитывая, что Ω(x1 ) ⊂ Ω2 , оценим I следующим образом:
    Z               Z                 µZ                ¶µZ               ¶
I 6   |F1 (x1 )| dx1 |F2 (x2 )| dx2 =    |F1 (x1 )| dx1     |F2 (x2 )| dx2 .
     Ω1             Ω2                             Ω1                     Ω2

Итак, неравенство (2.6) при n = 2, k = 1 доказано. Аналогично устанав-
ливается справедливость (2.6) для k = 1 при любом n.
    Далее предположим, что (2.6) выполнено, если 2 6 n 6 N − 1 и
1 6 k 6 N − 1. Докажем справедливость (2.6) при n = N для всех
1 6 k 6 N . Как уже упоминалось выше, для k = 1 и k = N неравенство
(2.6) выполнено, поэтому в дальнейшем полагаем, что 2 6 k 6 N − 1.
Обозначим через Im0 (k) ⊂ Im(k) — множество наборов J(k), не содер-
жащих номер N . Пусть Im00 (k) = Im(k) \ Im0 (k),
                    ΩN = { ξ ∈ R1 | ∃y ∈ Ω : yN = ξ},
               ΩxN = { ξ ∈ RN −1 | ∃y ∈ Ω : y = (ξ, xN )},
а µ = CNk−1        k−2
         −2 , ν = CN −2 . Нетрудно проверить, что µ/λ + ν/λ = 1. Имеем
                 Z              Z    Y
            I ≡    |F (x)| dx =            |FJ(k) (xJ(k) )| dx =
                Ω                          Ω J(k)∈Im(k)

Страницы