Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

54 Глава 3. Теоремы вложения
Оценим теперь I
2
. При фиксированном x
N
подынтегральная функ-
ция в I
2
также является функцией N − 1 аргумента. В каждом набо-
ре J(k) = (j
1
, . . . , j
k
) ⊂ Im
00
(k) последняя компонента j
k
= N. Пусть
¯
J(k − 1) = (j
1
, . . . , j
k−1
), Im(k − 1) — все множество таких наборов.
Нетрудно убедиться в том, что количество элементов в Im(k −1) (как и
в Im
00
(k)) равно C
k
N
−C
k
N−1
и совпадает с C
k−1
N−1
= λ. Как и в предыдущем
случае, введем вспомогательные функции
¯
F
¯
J(k−1)
(x
¯
J(k−1)
) = |F
J(k)
(x
J(k)
)|
λ/ν
,
¯
F (x
1
, . . . , x
N−1
) =
Y
¯
J(k−1)∈Im(k−1)
¯
F
¯
J(k−1)
(x
¯
J(k−1)
),
полагая при этом, что функции F
J(k)
(x
J(k)
) зависят от x
N
как от пара-
метра. Ясно, что
I
2
=
Z
Ω(x
N
)
¯
F (x
1
, . . . , x
N−1
) dx
1
. . . dx
N−1
.
Из условий леммы следует, что при почти всех x
N
∈ Ω
N
¯
F
¯
J(k−1)
∈ L
ν
µ
(Ω(x
N
))
¯
J(k−1)
. (2.9)
Функция
¯
F по конструкции совпадает с функцией F в формулировке
леммы, если заменить n на N −1, а k — на (k −1). Поэтому из предполо-
жения индукции и из включения (2.9) следует, что для оценки I
2
можно
использовать неравенство (2.6). В результате будем иметь
I
2
6
Y
¯
J(k−1)∈Im(k−1)
·
Z
(Ω(x
N
))
¯
J(k−1)
¯
¯
¯
F
¯
J(k−1)
(x
¯
J(k−1)
)
¯
¯
λ
dx
¯
J(k−1)
¸
1/ν
≡
≡
Y
J(k)∈Im
00
(k)
·
Z
(Ω(x
N
))
J(k)
¯
¯
F
J(k)
(x
J(k)
)
¯
¯
λ
dx
¯
J(k−1)
¸
1/ν
. (2.10)
Воспользовавшись (2.7), (2.8), (2.10) для оценки I, получим
I 6
Y
J(k)∈Im
0
(k)
·
Z
(Ω)
J(k)
¯
¯
F
J(k)
(x
J(k)
)
¯
¯
λ
dx
J(k)
¸
1/λ
×
54                                                            Глава 3. Теоремы вложения


    Оценим теперь I2 . При фиксированном xN подынтегральная функ-
ция в I2 также является функцией N − 1 аргумента. В каждом набо-
ре J(k) = (j1 , . . . , jk ) ⊂ Im00 (k) последняя компонента jk = N . Пусть
 ¯ − 1) = (j1 , . . . , jk−1 ), Im(k − 1) — все множество таких наборов.
J(k
Нетрудно убедиться в том, что количество элементов в Im(k − 1) (как и
в Im00 (k)) равно CNk −CNk −1 и совпадает с CNk−1−1 = λ. Как и в предыдущем
случае, введем вспомогательные функции

                        F̄J(k−1)
                            ¯     (xJ(k−1)
                                      ¯    ) = |FJ(k) (xJ(k) )|λ/ν ,
                                             Y
             F̄ (x1 , . . . , xN −1 ) =                F̄J(k−1)
                                                         ¯      (xJ(k−1)
                                                                     ¯   ),
                                       ¯
                                       J(k−1)∈Im(k−1)

полагая при этом, что функции FJ(k) (xJ(k) ) зависят от xN как от пара-
метра. Ясно, что
                     Z
               I2 =      F̄ (x1 , . . . , xN −1 ) dx1 . . . dxN −1 .
                        Ω(xN )

Из условий леммы следует, что при почти всех xN ∈ ΩN
                                µ               ¶
                   F̄J(k−1)
                     ¯      ∈ Lν (Ω(xN ))J(k−1)
                                         ¯        .                                   (2.9)

Функция F̄ по конструкции совпадает с функцией F в формулировке
леммы, если заменить n на N − 1, а k — на (k − 1). Поэтому из предполо-
жения индукции и из включения (2.9) следует, что для оценки I2 можно
использовать неравенство (2.6). В результате будем иметь
              Y      ·     Z                                     ¸1/ν
                                  ¯                   ¯λ
    I2 6                          ¯F̄J(k−1)
                                     ¯      (xJ(k−1)
                                              ¯      )¯ dxJ(k−1)
                                                          ¯           ≡
           ¯
           J(k−1)∈Im(k−1) (Ω(xN ))J(k−1)
                                  ¯


                   Y       ·       Z                                      ¸1/ν
                                             ¯              ¯
            ≡                                ¯FJ(k) (xJ(k) )¯λ dxJ(k−1)
                                                                 ¯               .   (2.10)
                J(k)∈Im00 (k) (Ω(x ))
                                  N J(k)

Воспользовавшись (2.7), (2.8), (2.10) для оценки I, получим
                   Y · Z ¯                        ¯λ
                                                           ¸1/λ
           I 6                     ¯FJ(k) (xJ(k) )¯ dxJ(k)      ×
                    J(k)∈Im0 (k)   (Ω)J(k)

Страницы