Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 57
для u ∈ C
∞
(Ω
j
). Для краткости записей на данном этапе доказательства
индекс j будем опускать, полагая
Ω =
[
x∈A
(x + Q). (2.18)
Кроме того, опираясь на теорему 2.7, можем считать, что параллело-
грамм Q в представлении (2.18) является кубом, ребра которого парал-
лельны осям координат, а длина ребра равна двум.
Обозначим через w
i
(x) пересечение Ω с прямой линией, проходящей
через точку x параллельно координатной оси с номером i. Очевидно, что
w
i
(x) содержит либо множество {x + te
i
, 0 6 t < 1}, либо множество
{x − te
i
, 0 6 t < 1}, здесь e
i
— орт i-той координатной оси. Пусть,
например, w
i
(x) содержит {x + te
i
, 0 6 t < 1}.
Положим γ = (np −p)/(n−p). Очевидно, γ > 1. Используя формулу
интегрирования по частям, нетрудно получить, что
1
Z
0
|u(x + (1 − t)e
i
)|
γ
dt = |u(x)|
γ
−
−γ
1
Z
0
t |u(x + (1 − t)e
i
)|
γ−1
d
dt
¯
¯
¯
¯
u(x + (1 − t)e
i
)
¯
¯
¯
¯
dt.
Или
|u(x)|
γ
=
1
Z
0
|u(x + (1 − t)e
i
)|
γ
dt +
+ γ
1
Z
0
t |u(x + (1 − t)e
i
)|
γ−1
d
dt
¯
¯
¯
¯
u(x + (1 − t)e
i
)
¯
¯
¯
¯
dt.
Отсюда и из равенства |D
i
u(x + (1 − t)e
i
)| = |t
d
dt
(u(x + (1 − t)e
i
))|
нетрудно получить, что для любого y ∈ w
i
(x)
|u(y)|
γ
6
Z
w
i
(x)
|u(x)|
γ
dx
i
+ γ
Z
w
i
(x)
|u(x)|
γ−1
|D
i
u(x)|dx
i
. (2.19)
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                     57


для u ∈ C ∞ (Ωj ). Для краткости записей на данном этапе доказательства
индекс j будем опускать, полагая
                                  [
                            Ω =     (x + Q).                      (2.18)
                                       x∈A

Кроме того, опираясь на теорему 2.7, можем считать, что параллело-
грамм Q в представлении (2.18) является кубом, ребра которого парал-
лельны осям координат, а длина ребра равна двум.
    Обозначим через wi (x) пересечение Ω с прямой линией, проходящей
через точку x параллельно координатной оси с номером i. Очевидно, что
wi (x) содержит либо множество {x + tei , 0 6 t < 1}, либо множество
{x − tei , 0 6 t < 1}, здесь ei — орт i-той координатной оси. Пусть,
например, wi (x) содержит {x + tei , 0 6 t < 1}.
    Положим γ = (np − p)/(n − p). Очевидно, γ > 1. Используя формулу
интегрирования по частям, нетрудно получить, что
                     Z1
                          |u(x + (1 − t)ei )|γ dt = |u(x)|γ −
                      0

                Z1                              ¯                 ¯
                                             d  ¯                 ¯
           −γ        t |u(x + (1 − t)ei )|γ−1 ¯¯u(x + (1 − t)ei )¯¯ dt.
                                             dt
                0
Или
                                 Z1
                     |u(x)|γ =        |u(x + (1 − t)ei )|γ dt +
                                  0
                Z1                              ¯                 ¯
                                             d  ¯                 ¯
           +γ        t |u(x + (1 − t)ei )|γ−1 ¯¯u(x + (1 − t)ei )¯¯ dt.
                                             dt
                0
                                                            d
Отсюда и из равенства |Di u(x + (1 − t)ei )| = |t              (u(x + (1 − t)ei ))|
                                                            dt
нетрудно получить, что для любого y ∈ wi (x)
               Z                   Z
     |u(y)|γ 6     |u(x)|γ dxi + γ    |u(x)|γ−1 |Di u(x)|dxi .              (2.19)
                wi (x)                   wi (x)

Страницы