Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 59
Из неравенств (2.23) и (2.22) следует, что
kuk
q
0,q,Ω
6
·
2
(p−1)/p
γ kuk
1,p,Ω
kuk
q/p
0
0,q,Ω
¸
n/(n−1)
.
Заметив, что
q −
q
p
0
n
n − 1
=
n
n − 1
,
обе части последнего неравенства разделим на kuk
qn/((n−1)p
0
)
0,q,Ω
и возведем
в степень (n − 1)/n. В результате получим оценку (2.17).
При p = 1 (в этом случае и γ = 1) неравенство (2.17) следует непо-
средственно из (2.21) и (2.23). Итак, оценка (2.16) при q = np/(n − p),
m = 1 доказана.
Установим далее справедливость (2.16) при q = q
m
≡ np/(n − mp)
для любого m > 1. Доказательство проведем с помощью индукции. Как
показано выше, при m = 1 и q = np/(n − p) неравенство (2.16) вы-
полнено. Предположим, что оценка (2.16) имеет место для m = s − 1,
q = q
s−1
≡ np/(n − (s − 1)p). Докажем справедливость этой оценки
при m = s, q = q
s
≡ np/(n − sp). Если u ∈ W
s
p
(Ω), то, очевидно,
u и D
j
u, 1 6 j 6 n, принадлежат W
s−1
p
(Ω), которое по предположе-
нию индукции непрерывно вложено в L
q
s−1
(Ω). Из этого следует, что
u ∈ W
1
q
s−1
(Ω) и
kuk
1,q
s−1
,Ω
6 K
1
kuk
m,p,Ω
.
Поскольку рассматривается случай mp < n, то и sp < n , следовательно,
q
s−1
< n. Воспользовавшись неравенством (2.16) при p = q
s−1
, нетрудно
показать, что W
1
q
s−1
(Ω) непрерывно вложено в L
q
s
(Ω), и потому имеем:
kuk
0,q
s
,Ω
6 K kuk
1,q
s−1
,Ω
6 K
2
kuk
m,p,Ω
.
Таким образом, по индукции неравенство (2.16) справедливо для лю-
бых m при q = q
m
≡ np/(n − mp).
Теперь докажем, что (2.16) имеет место для q ∈ [p, q
m
] с постоянной
вложения, не зависящей от меры области Ω. Пусть s некоторое число из
интервала (0, q). Воспользовавшись неравенством Гельдера с показате-
лем t > 1, получим
kuk
q
0,q,Ω
=
Z
Ω
|u(x)|
s
|u(x)|
q−s
dx 6
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                            59


Из неравенств (2.23) и (2.22) следует, что
                         ·                           ¸n/(n−1)
                                                   0
                                               q/p
            kukq0,q,Ω 6 2(p−1)/p γ kuk1,p,Ω kuk0,q,Ω          .

Заметив, что
                               q n      n
                          q−    0
                                     =     ,
                               p n−1   n−1
                                                       qn/((n−1)p0 )
обе части последнего неравенства разделим на kuk0,q,Ω       и возведем
в степень (n − 1)/n. В результате получим оценку (2.17).
    При p = 1 (в этом случае и γ = 1) неравенство (2.17) следует непо-
средственно из (2.21) и (2.23). Итак, оценка (2.16) при q = np/(n − p),
m = 1 доказана.
    Установим далее справедливость (2.16) при q = qm ≡ np/(n − mp)
для любого m > 1. Доказательство проведем с помощью индукции. Как
показано выше, при m = 1 и q = np/(n − p) неравенство (2.16) вы-
полнено. Предположим, что оценка (2.16) имеет место для m = s − 1,
q = qs−1 ≡ np/(n − (s − 1)p). Докажем справедливость этой оценки
при m = s, q = qs ≡ np/(n − sp). Если u ∈ Wps (Ω), то, очевидно,
u и Dj u, 1 6 j 6 n, принадлежат Wps−1 (Ω), которое по предположе-
нию индукции непрерывно вложено в Lqs−1 (Ω). Из этого следует, что
u ∈ Wq1s−1 (Ω) и
                       kuk1,qs−1 ,Ω 6 K1 kukm,p,Ω .
Поскольку рассматривается случай mp < n, то и sp < n, следовательно,
qs−1 < n. Воспользовавшись неравенством (2.16) при p = qs−1 , нетрудно
показать, что Wq1s−1 (Ω) непрерывно вложено в Lqs (Ω), и потому имеем:
                 kuk0,qs ,Ω 6 K kuk1,qs−1 ,Ω 6 K2 kukm,p,Ω .
Таким образом, по индукции неравенство (2.16) справедливо для лю-
бых m при q = qm ≡ np/(n − mp).
   Теперь докажем, что (2.16) имеет место для q ∈ [p, qm ] с постоянной
вложения, не зависящей от меры области Ω. Пусть s некоторое число из
интервала (0, q). Воспользовавшись неравенством Гельдера с показате-
лем t > 1, получим
                              Z
                      q
                   kuk0,q,Ω =   |u(x)|s |u(x)|q−s dx 6
                                Ω

Страницы