Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 61
При p = 1, m = n
W
m
p
(Ω) → C
B
(Ω). (2.25)
Постоянные вложений (2.15), (2.25) зависят только от m, n, p и ко-
нуса C, определяющего свойство конуса для Ω.
Доказательство. Пространство R
n
разобьем плоскостями параллель-
ными координатным плоскостям на ячейки, каждая из которых являет-
ся n-мерным гиперкубом с ребром, равным 1. Пусть λ = (λ
1
, . . . , λ
n
) —
мультииндекс,
H
λ
=
½
x ∈ R
n
¯
¯
¯
¯
λ
i
6 x
i
6 λ
i
+ 1, 1 6 i 6 n
¾
.
Ясно, что R
n
=
[
λ
H
λ
.
По теореме 3.1 каждая область Ω, обладающая свойством конуса,
может быть представлена в виде: Ω =
ℵ
S
j=1
Ω
j
, где
Ω
j
=
[
x∈A
j
(x + Q
j
),
A
j
— некоторое подмножество из Ω, Q
j
— открытый параллелепипед с
вершиной в нуле. Число ℵ и размеры параллелепипедов Q
j
зависят от
n и конуса C, определяющего свойство конуса для Ω. Для каждого λ и
1 6 j 6 ℵ положим
Ω
λ,j
=
[
x∈A
j
∩H
λ
(x + Q
j
).
Докажем, что области Ω
λ,j
обладают следующими свойствами:
1) Ω =
S
λ
ℵ
S
j=1
Ω
λ,j
,
2) Ω
λ,j
ограничена,
3) существует конечный конус C
0
, зависящий только от Q
1
, . . . , Q
ℵ
(и, следовательно, от n и C) такой, что каждая Ω
λ,j
обладает свойством
конуса, определенного по C
0
,
4) существует положительное целое число R , зависящее от n и C
такое, что любые R + 1 области Ω
λ,j
имеют пустое пересечение,
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                             61


При p = 1, m = n
                             Wpm (Ω) → CB (Ω).                      (2.25)
Постоянные вложений (2.15), (2.25) зависят только от m, n, p и ко-
нуса C, определяющего свойство конуса для Ω.
    Доказательство. Пространство Rn разобьем плоскостями параллель-
ными координатным плоскостям на ячейки, каждая из которых являет-
ся n-мерным гиперкубом с ребром, равным 1. Пусть λ = (λ1 , . . . , λn ) —
мультииндекс,
               ½         ¯                              ¾
                         ¯
                       n ¯
         Hλ = x ∈ R ¯        λi 6 xi 6 λi + 1, 1 6 i 6 n .
                 [
             n
Ясно, что R =         Hλ .
                  λ
   По теореме 3.1 каждая область Ω, обладающая свойством конуса,
                                    S
                                    ℵ
может быть представлена в виде: Ω =   Ωj , где
                                               j=1
                                     [
                             Ωj =           (x + Qj ),
                                     x∈Aj

Aj — некоторое подмножество из Ω, Qj — открытый параллелепипед с
вершиной в нуле. Число ℵ и размеры параллелепипедов Qj зависят от
n и конуса C, определяющего свойство конуса для Ω. Для каждого λ и
1 6 j 6 ℵ положим
                               [
                      Ωλ,j =        (x + Qj ).
                                    x∈Aj ∩Hλ

Докажем, что области Ωλ,j обладают следующими свойствами:
           SS ℵ
   1) Ω =        Ωλ,j ,
              λ j=1
    2) Ωλ,j ограничена,
    3) существует конечный конус C 0 , зависящий только от Q1 , . . . , Qℵ
(и, следовательно, от n и C) такой, что каждая Ωλ,j обладает свойством
конуса, определенного по C 0 ,
    4) существует положительное целое число R, зависящее от n и C
такое, что любые R + 1 области Ωλ,j имеют пустое пересечение,

Страницы