Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава 3. Теоремы вложения
откуда при 0 < r < h следует
|ϕ(x
∗
)| 6 |ϕ(r, θ)| +
h
Z
0
¯
¯
¯
¯
d
dt
ϕ(t, θ)
¯
¯
¯
¯
dt.
Последнее неравенство умножим на r
n−1
ω(θ) и проинтегрируем по θ ∈ A
и по 0 < r < h. В результате получим
h
Z
0
Z
A
r
n−1
ω(θ) |ϕ(x
∗
)|dr dθ 6
h
Z
0
Z
A
r
n−1
ω(θ) |ϕ(r, θ)|dr dθ +
+
½
h
Z
0
r
n−1
dr
¾½
Z
A
h
Z
0
ω(θ) |
d
dt
ϕ(t, θ)|dt dθ
¾
. (2.28)
Заметим, что
¯
¯
¯
¯
d
dt
ϕ(t, θ)
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
n
X
i=1
∂ ϕ(x(t, θ))
∂ x
i
∂ x
i
∂ t
¯
¯
¯
¯
6
6
µ
n
X
i=1
µ
∂ ϕ(x)
∂ x
i
2
1/2
µ
n
X
i=1
µ
∂ x
i
∂ t
2
1/2
= |grad ϕ(x)|,
поскольку, как нетрудно проверить,
n
X
i=1
µ
∂ x
i
∂ r
2
= 1 .
Поэтому последний интеграл в неравенстве (2.28) можно оценить следу-
ющим образом
Z
A
h
Z
0
ω(θ)
¯
¯
¯
¯
d
dt
ϕ(t, θ)
¯
¯
¯
¯
dt dθ =
Z
A
h
Z
0
t
n−1
ω(θ)
¯
¯
¯
¯
d
dt
ϕ(t, θ)
¯
¯
¯
¯
t
1−n
dt dθ 6
6
Z
C
x
∗
|grad ϕ(x)||x − x
∗
|
1−n
dx.
Используя эту оценку, неравенство (2.28), а также следующие легко про-
веряемые соотношения
h
Z
0
Z
A
r
n−1
ω(θ) |ϕ(x
∗
)|dr dθ = (mes C
x
∗
) |ϕ(x
∗
)|,
64                                                             Глава 3. Теоремы вложения


откуда при 0 < r < h следует
                                            Zh ¯        ¯
                                               ¯d       ¯
                          ∗
                      |ϕ(x )| 6 |ϕ(r, θ)| +    ¯ ϕ(t, θ)¯ dt.
                                               ¯ dt     ¯
                                                       0

Последнее неравенство умножим на rn−1 ω(θ) и проинтегрируем по θ ∈ A
и по 0 < r < h. В результате получим
      Zh Z                            Zh Z
           rn−1 ω(θ) |ϕ(x∗ )| dr dθ 6      rn−1 ω(θ) |ϕ(r, θ)| dr dθ +
      0   A                                        0   A
                  ½ Zh                   ¾½Z Zh                         ¾
                              n−1                        d
              +           r         dr             ω(θ) | ϕ(t, θ)| dt dθ .        (2.28)
                                                         dt
                      0                    A   0
Заметим, что
                ¯          ¯     ¯X                        ¯
                ¯d         ¯     ¯ n ∂ ϕ(x(t, θ)) ∂ xi ¯
                ¯ ϕ(t, θ)¯ = ¯                             ¯ 6
                ¯ dt       ¯     ¯          ∂ x i      ∂ t ¯
                                   i=1
          µX n µ          ¶2 ¶1/2 µX   n µ       ¶2 ¶1/2
                  ∂ ϕ(x)                   ∂ xi
       6                                                 = |grad ϕ(x)|,
            i=1
                    ∂ x i            i=1
                                            ∂ t
поскольку, как нетрудно проверить,
                             Xn µ        ¶2
                                    ∂ xi
                                             = 1.
                             i=1
                                     ∂ r
Поэтому последний интеграл в неравенстве (2.28) можно оценить следу-
ющим образом
  Z Zh       ¯         ¯          Z Zh              ¯         ¯
             ¯d        ¯                            ¯ d       ¯
       ω(θ) ¯¯ ϕ(t, θ)¯¯ dt dθ =         tn−1 ω(θ) ¯¯ ϕ(t, θ)¯¯ t1−n dt dθ 6
               dt                                     dt
  A 0                             A 0
                        Z
                   6        |grad ϕ(x)| |x − x∗ |1−n dx.
                               Cx∗
Используя эту оценку, неравенство (2.28), а также следующие легко про-
веряемые соотношения
           Zh Z
                 rn−1 ω(θ) |ϕ(x∗ )| dr dθ = (mes Cx∗ ) |ϕ(x∗ )| ,
              0   A

Страницы