Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 67
свойства Липшица следует свойство конуса, то по лемме 3.6 функция u
непрерывна на Ω и
sup
x∈Ω
|u(x)| 6 K
1
kuk
m,p,Ω
.
По теореме 2.5 множество C
∞
(Ω)
T
W
m
p
(Ω) плотно W
m
p
(Ω). Поэтому
для доказательства теоремы достаточно установить при соответствую-
щих значениях λ справедливость неравенства
sup
x,y ∈Ω
x6=y
|u(x) − u(y)|
|x − y|
λ
6 K
2
kuk
m,p,Ω
∀u ∈ C
∞
(Ω). (2.31)
Из условия mp > n > (m − 1)p и леммы 3.5 следует, что
W
m
p
(Ω) → W
1
r
(Ω),
где
r = np/(n − mp + p), если n > (m − 1)p ,
p < r < ∞, если n = (m − 1)p ,
r = ∞, если p = 1, n = m − 1.
Заметим, что
1 − n/r = m − n/p, если n > (m − 1)p ,
0 < 1 − n/r < 1, если n = (m − 1)p ,
1 − n/r = m − n/p = 1, если p = 1, n = m − 1.
Сравнивая эти соотношения с условиями теоремы, нетрудно видеть, что
для доказательства (2.31) достаточно показать справедливость при всех
p < r 6 ∞ и 0 < λ 6 1 −n/r следующего неравенства
sup
x,y ∈Ω
x6=y
|u(x) − u(y)|
|x − y|
λ
6 K
3
kuk
1,r,Ω
∀u ∈ C
∞
(Ω). (2.32)
Сначала установим (2.32) для случая, когда Ω — n-мерный куб. Без
ограничения общности можем предположить, что длина ребра куба рав-
на 1. Для 0 < t < 1 будем обозначать Ω
t
куб с ребром t, грани которого
параллельны граням Ω и Ω
t
⊂ Ω.
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                               67


свойства Липшица следует свойство конуса, то по лемме 3.6 функция u
непрерывна на Ω и

                            sup |u(x)| 6 K1 kukm,p,Ω .
                            x∈Ω
                                 T
По теореме 2.5 множество C ∞ (Ω) Wpm (Ω) плотно Wpm (Ω). Поэтому
для доказательства теоремы достаточно установить при соответствую-
щих значениях λ справедливость неравенства
                  |u(x) − u(y)|
          sup                   6 K2 kukm,p,Ω      ∀ u ∈ C ∞ (Ω).      (2.31)
         x,y∈Ω       |x − y|λ
          x6=y


      Из условия mp > n > (m − 1)p и леммы 3.5 следует, что

                                  Wpm (Ω) → Wr1 (Ω),
где
                 r = np/(n − mp + p),     если      n > (m − 1)p ,
                      p < r < ∞,          если      n = (m − 1)p ,
                        r = ∞,            если    p = 1, n = m − 1.
Заметим, что

               1 − n/r = m − n/p,          если      n > (m − 1)p ,
                 0 < 1 − n/r < 1,          если      n = (m − 1)p ,
             1 − n/r = m − n/p = 1,        если    p = 1, n = m − 1.
Сравнивая эти соотношения с условиями теоремы, нетрудно видеть, что
для доказательства (2.31) достаточно показать справедливость при всех
p < r 6 ∞ и 0 < λ 6 1 − n/r следующего неравенства
                  |u(x) − u(y)|
          sup                   6 K3 kuk1,r,Ω      ∀ u ∈ C ∞ (Ω).      (2.32)
          x,y∈Ω      |x − y|λ
           x6=y


    Сначала установим (2.32) для случая, когда Ω — n-мерный куб. Без
ограничения общности можем предположить, что длина ребра куба рав-
на 1. Для 0 < t < 1 будем обозначать Ωt куб с ребром t, грани которого
параллельны граням Ω и Ωt ⊂ Ω.

Страницы