Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 69
6 2 K
4
|x − y|
1−n/p
kgrad uk
0,p,Ω
.
Таким образом, при 0 < λ 6 (1 − n/p) неравенство (2.32) имеет место,
если Ω — n-мерный куб. С помощью невырожденного преобразования
(см. следствие 3.1) этот результат можно обобщить и на область в виде
параллелепипеда.
Теперь докажем (2.32) в случае, когда Ω — область, обладающая
сильным локальным свойством Липшица. Пусть δ, M, Ω
δ
, U
j
, V
j
те же,
что и в определении 3.4. Как уже отмечалось ранее, Ω будет обладать
и свойством конуса, поэтому найдется параллелепипед P диаметра δ с
вершиной в начале координат и конгруэнтные ему параллелепипеды P
j
(также с вершиной в начале координат) такие, что для каждого x из
V
j
∩ Ω имеет место включение x + P
j
⊂ Ω. (Заметим, что паралле-
лепипеды P и P
j
будут зависеть только от δ и M). По определению
сильного локального свойства Липшица найдутся постоянные δ
0
∈ (0, δ]
и δ
1
> 0 такие, что для любых точек x, y ∈ V
j
∩ Ω, удовлетворяющих
неравенству |x −y| < δ
0
, существует z ∈ (x + P
j
) ∩(y + P
j
) со свойством
|x − z| + |y − z| 6 δ
1
|x − y|.
Константы δ
0
и δ
1
> 0, очевидно, зависят от δ и P . Воспользуемся (2.32)
для параллелепипедов (x + P
j
) и (y + P
j
), в результате получим
|u(x) −u(y)| 6 |u(x) − u(z)| + |u(z) −u(y)| 6
6 K
5
|x − z|
λ
kuk
1,p,Ω
+ K
5
|y − z|
λ
kuk
1,p,Ω
6
6 2
1−λ
K
5
δ
λ
1
|x − y|
λ
kuk
1,p,Ω
. (2.33)
Теперь пусть x, y ∈ Ω — произвольные точки. Если |x − y| < δ
0
и
x, y ∈ Ω
δ
, то найдется V
j
такой, что x, y ∈ V
j
, поэтому оценка (2.33)
имеет место. Если |x −y| < δ
0
, x ∈ Ω
δ
, y ∈ Ω \Ω
δ
, то найдется V
j
такой,
что x ∈ V
j
, и (2.33) можно получить, если воспользоваться (2.32) для
параллелепипедов (x + P
j
) и (y + P
j
). Если |x − y| < δ
0
, x, y ∈ Ω \ Ω
δ
,
то (2.33) получаем в результате применения (2.32) для параллелепипе-
дов (x + P
0
) и (y + P
0
), где P
0
— параллелепипед, конгруэнтный P , с
вершиной в начале координат. И, наконец, если |x − y| > δ
0
, то
|u(x) − u(y)| 6 |u(x)| + |u(y)| 6 K
6
kuk
1,p,Ω
6
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                               69


                     6 2 K4 |x − y|1−n/p kgrad uk0,p,Ω .
Таким образом, при 0 < λ 6 (1 − n/p) неравенство (2.32) имеет место,
если Ω — n-мерный куб. С помощью невырожденного преобразования
(см. следствие 3.1) этот результат можно обобщить и на область в виде
параллелепипеда.
    Теперь докажем (2.32) в случае, когда Ω — область, обладающая
сильным локальным свойством Липшица. Пусть δ, M, Ωδ , Uj , Vj те же,
что и в определении 3.4. Как уже отмечалось ранее, Ω будет обладать
и свойством конуса, поэтому найдется параллелепипед P диаметра δ с
вершиной в начале координат и конгруэнтные ему параллелепипеды Pj
(также с вершиной в начале координат) такие, что для каждого x из
Vj ∩ Ω имеет место включение x + Pj ⊂ Ω. (Заметим, что паралле-
лепипеды P и Pj будут зависеть только от δ и M ). По определению
сильного локального свойства Липшица найдутся постоянные δ0 ∈ (0, δ]
и δ1 > 0 такие, что для любых точек x, y ∈ Vj ∩ Ω, удовлетворяющих
неравенству |x − y| < δ0 , существует z ∈ (x + Pj ) ∩ (y + Pj ) со свойством

                      |x − z| + |y − z| 6 δ1 |x − y|.

Константы δ0 и δ1 > 0, очевидно, зависят от δ и P . Воспользуемся (2.32)
для параллелепипедов (x + Pj ) и (y + Pj ), в результате получим

            |u(x) − u(y)| 6 |u(x) − u(z)| + |u(z) − u(y)| 6

              6 K5 |x − z|λ kuk1,p,Ω + K5 |y − z|λ kuk1,p,Ω 6
                       6 21−λ K5 δ1λ |x − y|λ kuk1,p,Ω .              (2.33)
    Теперь пусть x, y ∈ Ω — произвольные точки. Если |x − y| < δ0 и
x, y ∈ Ωδ , то найдется Vj такой, что x, y ∈ Vj , поэтому оценка (2.33)
имеет место. Если |x − y| < δ0 , x ∈ Ωδ , y ∈ Ω \ Ωδ , то найдется Vj такой,
что x ∈ Vj , и (2.33) можно получить, если воспользоваться (2.32) для
параллелепипедов (x + Pj ) и (y + Pj ). Если |x − y| < δ0 , x, y ∈ Ω \ Ωδ ,
то (2.33) получаем в результате применения (2.32) для параллелепипе-
дов (x + P 0 ) и (y + P 0 ), где P 0 — параллелепипед, конгруэнтный P , с
вершиной в начале координат. И, наконец, если |x − y| > δ0 , то

            |u(x) − u(y)| 6 |u(x)| + |u(y)| 6 K6 kuk1,p,Ω 6

Страницы