Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Об операторах продолжения для W
m
p
(Ω). 81
Из последнего неравенства и оценок (4.3), (4.2) следует, что
kθ
j
k
m,p,R
n
6 K
3
kϕ
j
k
m,p,Ω
. (4.4)
Теперь определим оператор продолжения
e
E следующим образом
e
E ϕ(x) = ϕ
0
(x) +
N
X
j=1
θ
j
.
Очевидно, что
e
E ϕ(x) = ϕ(x), если x ∈ Ω. Ограниченность оператора
e
E нетрудно показать, используя (4.4) и следующие легко проверяемые
неравенства
kϕ
j
k
m,p,Ω
6 K
3
kϕk
v,p,Ω
, 1 6 j 6 N.
Теорема 3.6 доказана.
Следствие 3.5. Оператор сильного m-продолжения существует
и для
Ω =
©
x ∈ R
n
| x
i
j
> 0, 1 6 j 6 k, 1 6 i
j
6 n, k 6 n
ª
.
Доказательство. Обозначим E
(n)
оператор, определенный формулой
(4.1), и построим по аналогии операторы E
(i)
для всех 1 6 i 6 n.
Пусть
b
E = E
(i
1
)
E
(i
2
)
. . . E
(i
k
)
. Нетрудно показать, что операторы E
(i
j
)
перестановочны, сам же оператор
b
E как произведение ограниченных
операторов является ограниченным оператором из W
m
p
(Ω) в W
m
p
(R
n
).
Кроме того,
b
E u(x) = u(x) для любых x ∈ Ω, так как по определению
E
(i
j
)
u(x) = u(x) при x ∈ Ω.
Отметим, что в следствии 3.5 оператор продолжения построен для
области с кусочно-гладкой границей специального вида. Используя этот
результат, можно построить оператор сильного m-продолжения для су-
щественно более широкого класса областей с кусочно-гладкой границей.
Определение 3.7. Будем говорить, что область Ω обладает свой-
ством кусочно-равномерной C
m
-регулярности, если для Ω выполнены все
§ 4. Об операторах продолжения для Wpm (Ω).                                         81


Из последнего неравенства и оценок (4.3), (4.2) следует, что

                           kθj km,p,Rn 6 K3 kϕj km,p,Ω .                         (4.4)
                                          e следующим образом
    Теперь определим оператор продолжения E
                                                   N
                                                   X
                           e ϕ(x) = ϕ0 (x) +
                           E                             θj .
                                                   j=1


Очевидно, что Ee ϕ(x) = ϕ(x), если x ∈ Ω. Ограниченность оператора
Ee нетрудно показать, используя (4.4) и следующие легко проверяемые
неравенства

                   kϕj km,p,Ω 6 K3 kϕkv,p,Ω ,         1 6 j 6 N.

Теорема 3.6 доказана.
    Следствие 3.5. Оператор сильного m-продолжения существует
и для
         ©                                              ª
      Ω = x ∈ Rn | xij > 0, 1 6 j 6 k, 1 6 ij 6 n, k 6 n .



      Доказательство. Обозначим E (n) оператор, определенный формулой
(4.1), и построим по аналогии операторы E (i) для всех 1 6 i 6 n.
Пусть E    b = E (i1 ) E (i2 ) . . . E (ik ) . Нетрудно показать, что операторы E (ij )
перестановочны, сам же оператор E                   b как произведение ограниченных
операторов является ограниченным оператором из Wpm (Ω) в Wpm (Rn ).
Кроме того, E    b u(x) = u(x) для любых x ∈ Ω, так как по определению
E (ij ) u(x) = u(x) при x ∈ Ω.
      Отметим, что в следствии 3.5 оператор продолжения построен для
области с кусочно-гладкой границей специального вида. Используя этот
результат, можно построить оператор сильного m-продолжения для су-
щественно более широкого класса областей с кусочно-гладкой границей.
    Определение 3.7. Будем говорить, что область Ω обладает свой-
ством кусочно-равномерной C m -регулярности, если для Ω выполнены все

Страницы