Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Компактные вложения W
m
p
(Ω). 83
Теорема 3.7. Пусть Ω — произвольная область пространства R
n
,
обладающая сильным локальным свойством Липшица, а Ω
0
— ограни-
ченная подобласть Ω. Тогда следующие вложения являются компакт-
ными:
W
m+j
p
(Ω) → C
j
(Ω
0
), mp > n; (5.2)
W
m+j
p
(Ω) → C
j,λ
(Ω
0
), mp > n > (m − 1)p. (5.3)
Здесь 0 < λ < m − n/p, j > 0.
Доказательство, очевидно, достаточно привести при j = 0. Если
mp > n > (m − 1)p и 0 < λ < m − n/p, то найдется µ такое, что
λ < µ < m − n/p. Так как Ω
0
ограничена, то вложение
C
0,µ
(Ω
0
) → C
0,λ
(Ω
0
) (5.4)
является компактным по теореме 1.2. По теореме 3.3 имеет место непре-
рывное вложение W
m
p
(Ω) в C
0,µ
(Ω
0
). Это означает, что любое ограничен-
ное в W
m
p
(Ω) множество будет ограничено и в C
0,µ
(Ω
0
). Из (5.4) следует,
что в C
0,λ
(Ω
0
) оно будет компактным. Компактность вложения (5.3) до-
казана.
Если mp > n, то обозначим через j
∗
неотрицательное целое число,
удовлетворяющее неравенствам (m − j
∗
)p > n > (m − j
∗
− 1)p. Имеет
место следующая цепочка вложений
W
m
p
(Ω) → W
m−j
∗
p
(Ω) → C
0,µ
(Ω
0
) → C(Ω
0
), (5.5)
где 0 < µ < m − j
∗
− n/p. Последнее вложение в (5.5) компактно по
теореме (1.2). Таким образом, вложение (5.2) также компактно.
Теорема 3.8. Пусть Ω — область пространства R
n
, обладающая
свойством конуса, Ω
0
— ограниченная подобласть Ω, Ω
k
0
— пересече-
ние Ω
0
с k -мерной плоскостью в R
n
, 1 6 k 6 n. Кроме того, пусть
mp > n. Тогда при j > 0 следующие вложения являются компактны-
ми:
W
m+j
p
(Ω) → C
j
B
(Ω
0
), (5.6)
W
m+j
p
(Ω) → W
j
q
(Ω
k
0
) для всех 1 6 q 6 ∞. (5.7)
§ 5. Компактные вложения Wpm (Ω).                                        83


   Теорема 3.7. Пусть Ω — произвольная область пространства Rn ,
обладающая сильным локальным свойством Липшица, а Ω0 — ограни-
ченная подобласть Ω. Тогда следующие вложения являются компакт-
ными:
                 Wpm+j (Ω) → C j (Ω0 ), mp > n;            (5.2)
            Wpm+j (Ω) → C j,λ (Ω0 ),      mp > n > (m − 1)p.          (5.3)
Здесь 0 < λ < m − n/p, j > 0.
   Доказательство, очевидно, достаточно привести при j = 0. Если
mp > n > (m − 1)p и 0 < λ < m − n/p, то найдется µ такое, что
λ < µ < m − n/p. Так как Ω0 ограничена, то вложение

                           C 0,µ (Ω0 ) → C 0,λ (Ω0 )                  (5.4)

является компактным по теореме 1.2. По теореме 3.3 имеет место непре-
рывное вложение Wpm (Ω) в C 0,µ (Ω0 ). Это означает, что любое ограничен-
ное в Wpm (Ω) множество будет ограничено и в C 0,µ (Ω0 ). Из (5.4) следует,
что в C 0,λ (Ω0 ) оно будет компактным. Компактность вложения (5.3) до-
казана.
    Если mp > n, то обозначим через j ∗ неотрицательное целое число,
удовлетворяющее неравенствам (m − j ∗ )p > n > (m − j ∗ − 1)p. Имеет
место следующая цепочка вложений
                                    ∗
              Wpm (Ω) → Wpm−j (Ω) → C 0,µ (Ω0 ) → C(Ω0 ),             (5.5)

где 0 < µ < m − j ∗ − n/p. Последнее вложение в (5.5) компактно по
теореме (1.2). Таким образом, вложение (5.2) также компактно.
    Теорема 3.8. Пусть Ω — область пространства Rn , обладающая
свойством конуса, Ω0 — ограниченная подобласть Ω, Ωk0 — пересече-
ние Ω0 с k-мерной плоскостью в Rn , 1 6 k 6 n. Кроме того, пусть
mp > n. Тогда при j > 0 следующие вложения являются компактны-
ми:
                       Wpm+j (Ω) → CBj (Ω0 ),               (5.6)
             Wpm+j (Ω) → Wqj (Ωk0 )       для всех 1 6 q 6 ∞.         (5.7)

Страницы