Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Компактные вложения W
m
p
(Ω). 85
W
m
p
(Ω) → L
q
1
(Ω
k
0
), (5.9)
причем (5.9) компактно. Тогда для всех q ∈ [q
1
, q
0
) компактным явля-
ется вложение
W
m
p
(Ω) → L
q
(Ω
k
0
). (5.10)
Доказательство. Пусть
λ =
q
1
(q
0
− q)
q(q
0
− q
1
)
, µ =
q
0
(q −q
1
)
q(q
0
− q
1
)
.
Очевидно, что λ > 0, µ > 0, λ + µ = 1. Имеем
kuk
q
0,q,Ω
k
0
=
Z
Ω
k
0
|u(x)|
q
dx =
Z
Ω
k
0
|u(x)|
qλ
|u(x)|
qµ
dx.
Правую часть оценим с помощью неравенства Гельдера с показателем
q
1
/(qλ) (сопряженным ему числом будет q
0
/(qµ)), в результате получим
kuk
q
0,q,Ω
k
0
6 kuk
qλ
0,q
1
,Ω
k
0
kuk
qµ
0,q
0
,Ω
k
0
6 kuk
qλ
0,q
1
,Ω
k
0
kuk
qµ
m,p,Ω
k
0
. (5.11)
Последняя оценка в этой цепочке неравенств следует из (5.8).
Пусть {u
i
} — ограниченная в W
m
p
(Ω) последовательность. Так как
вложение (5.9) компактно , то существует подпоследовательность {u
0
i
},
фундаментальная в L
q
1
(Ω
k
0
). Из (5.11) следует, что {u
0
i
} является фун-
даментальной последовательностью и в L
q
(Ω
k
0
). Лемма доказана.
Теорема 3.9. Пусть Ω — область пространства R
n
, обладающая
свойством конуса, Ω
0
— ограниченная подобласть Ω, Ω
k
0
— пересече-
ние Ω
0
с k-мерной плоскостью пространства R
n
, 1 6 k 6 n. Кроме
того, пусть mp 6 n. Тогда вложение
W
m+j
p
(Ω) → W
j
q
(Ω
k
0
) (5.12)
будет компактным для всех
1 6 q <
kp
n − mp
, если 0 < n − mp < k 6 n;
1 6 q < ∞, если mp = n, 1 6 k 6 n.
§ 5. Компактные вложения Wpm (Ω).                                           85


                                Wpm (Ω) → Lq1 (Ωk0 ),                     (5.9)
причем (5.9) компактно. Тогда для всех q ∈ [q1 , q0 ) компактным явля-
ется вложение
                        Wpm (Ω) → Lq (Ωk0 ).                     (5.10)


    Доказательство. Пусть
                          q1 (q0 − q)               q0 (q − q1 )
                   λ =                ,       µ =                .
                          q(q0 − q1 )               q(q0 − q1 )
Очевидно, что λ > 0, µ > 0, λ + µ = 1. Имеем
                      Z              Z
              q               q
          kuk0,q,Ωk =   |u(x)| dx =     |u(x)|qλ |u(x)|qµ dx.
                    0

                          Ωk0                 Ωk0

Правую часть оценим с помощью неравенства Гельдера с показателем
q1 /(qλ) (сопряженным ему числом будет q0 /(qµ)), в результате получим

       kukq0,q,Ωk 6 kukqλ
                       0,q1 ,Ωk
                                kukqµ
                                   0,q0 ,Ωk
                                            6 kukqλ
                                                 0,q1 ,Ωk
                                                          kukqµ
                                                             m,p,Ωk
                                                                    .    (5.11)
               0                 0        0               0          0


Последняя оценка в этой цепочке неравенств следует из (5.8).
   Пусть {ui } — ограниченная в Wpm (Ω) последовательность. Так как
вложение (5.9) компактно , то существует подпоследовательность {u0i },
фундаментальная в Lq1 (Ωk0 ). Из (5.11) следует, что {u0i } является фун-
даментальной последовательностью и в Lq (Ωk0 ). Лемма доказана.
    Теорема 3.9. Пусть Ω — область пространства Rn , обладающая
свойством конуса, Ω0 — ограниченная подобласть Ω, Ωk0 — пересече-
ние Ω0 с k-мерной плоскостью пространства Rn , 1 6 k 6 n. Кроме
того, пусть mp 6 n. Тогда вложение

                                Wpm+j (Ω) → Wqj (Ωk0 )                   (5.12)

будет компактным для всех
                          kp
             16q<              ,       если 0 < n − mp < k 6 n;
                        n − mp

                1 6 q < ∞,             если mp = n, 1 6 k 6 n.

Страницы