Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

88 Глава 3. Теоремы вложения
здесь β = n(mr −ν)/(mr(n−ν)), K
3
, K
4
, K
5
не зависят от u. Заметим,
что 0 < β < 1, 1 < q < q
0
. Из (5.18) и доказанной уже компактности
вложения W
m
p
(Ω) → L
q
(Ω
0
) следует компактность вложения W
m
p
(Ω)
в L
1
(Ω
k
0
). Используя это и лемму 3.8, нетрудно показать, что W
m
p
(Ω)
вкладывается в L
q
(Ω
k
0
) компактно для всех q ∈ [1, kp/(n − kp)).
Если p = 1 и 0 6 n − m < k < n, то, очевидно, n − m + 1 6 k < n,
а потому 2 6 m 6 n. По теореме 3.2
W
m
p
(Ω) → W
m−1
r
(Ω) при r = n/(n − 1) > 0.
Вложение W
m
r
(Ω) → L
1
(Ω
k
0
) является компактным по доказанному
выше. Этого достаточно для завершения доказательства теоремы при
n > mp.
Пусть теперь n = mp. Если p > 1 и 1 6 q < ∞, то можно выбрать
r таким, что 1 6 r < p, k > n − mr > 0 и kr/(n − mr) > q. Тогда по
доказанному выше имеем
W
m
p
(Ω) → W
m
r
(Ω
0
) → L
q
(Ω
k
0
), (5.19)
причем последнее вложение компактно.
При p = 1, n = m > 2 положим r = n/(n − 1) > 1. Тогда по
теореме 3.2
W
n
1
(Ω) → W
n−1
r
(Ω) .
Компактность вложения W
n−1
r
(Ω) в L
q
(Ω
k
0
) следует из (5.19).
Наконец, пусть p = m = n = 1. В этом случае k = 1 и Ω
k
0
= Ω
0
. Ранее
при k = n была доказана для любого p > 1 компактность вложения
W
1
p
(Ω) → L
1
(Ω
0
).
Из последнего утверждения, вложения W
1
1
(Ω) → L
q
(Ω
0
) для любого
1 6 q < ∞ и леммы 3.8 следует утверждение теоремы и в этом случае.
Теорема доказана.
Теорема 3.10. Пусть Ω — ограниченная область пространства
R
n
, обладающая свойством равномерной C
m
-регулярности, и суще-
ствует оператор продолжения E (см. параграф 4), действующий из
W
m
p
(Ω) в W
m
p
(R
n
). Тогда вложение
W
m
p
(Ω) → L
q
(∂Ω) (5.20)
88                                              Глава 3. Теоремы вложения


здесь β = n(mr − ν)/(mr(n − ν)), K3 , K4 , K5 не зависят от u. Заметим,
что 0 < β < 1, 1 < q < q0 . Из (5.18) и доказанной уже компактности
вложения Wpm (Ω) → Lq (Ω0 ) следует компактность вложения Wpm (Ω)
в L1 (Ωk0 ). Используя это и лемму 3.8, нетрудно показать, что Wpm (Ω)
вкладывается в Lq (Ωk0 ) компактно для всех q ∈ [1, kp/(n − kp)).
    Если p = 1 и 0 6 n − m < k < n, то, очевидно, n − m + 1 6 k < n,
а потому 2 6 m 6 n. По теореме 3.2
          Wpm (Ω) → Wrm−1 (Ω)      при r = n/(n − 1) > 0.
Вложение Wrm (Ω) → L1 (Ωk0 ) является компактным по доказанному
выше. Этого достаточно для завершения доказательства теоремы при
n > mp.
   Пусть теперь n = mp. Если p > 1 и 1 6 q < ∞, то можно выбрать
r таким, что 1 6 r < p, k > n − mr > 0 и kr/(n − mr) > q. Тогда по
доказанному выше имеем
                    Wpm (Ω) → Wrm (Ω0 ) → Lq (Ωk0 ),               (5.19)
причем последнее вложение компактно.
   При p = 1, n = m > 2 положим r = n/(n − 1) > 1. Тогда по
теореме 3.2
                       W1n (Ω) → Wrn−1 (Ω) .
Компактность вложения Wrn−1 (Ω) в Lq (Ωk0 ) следует из (5.19).
   Наконец, пусть p = m = n = 1. В этом случае k = 1 и Ωk0 = Ω0 . Ранее
при k = n была доказана для любого p > 1 компактность вложения
                          Wp1 (Ω) → L1 (Ω0 ).
Из последнего утверждения, вложения W11 (Ω) → Lq (Ω0 ) для любого
1 6 q < ∞ и леммы 3.8 следует утверждение теоремы и в этом случае.
Теорема доказана.
   Теорема 3.10. Пусть Ω — ограниченная область пространства
R , обладающая свойством равномерной C m -регулярности, и суще-
 n

ствует оператор продолжения E (см. параграф 4), действующий из
Wpm (Ω) в Wpm (Rn ). Тогда вложение
                          Wpm (Ω) → Lq (∂Ω)                        (5.20)

Страницы