Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Полугруппы операторов и абстрактная задача Коши 95
Так как t − kr ∈ [r, 2r), то, как было замечено выше, N(t − kr) 6 K.
Таким образом,
δ
0
6
N(t)
t
6
kr
t
δ +
K
t
6
³
1 −
r
t
´
δ +
K
t
.
Правая часть неравенства стремится к δ при t → ∞, что доказывает
утверждение (a) в силу произвольности δ > δ
0
= inf
t>0
N(t)/t.
Если δ > δ
0
, то существует t
δ
такое, что N(t) 6 δt при t > t
δ
или,
что равносильно, kG(t)k
L(B)
6 e
δt
. Отсюда следует утверждение (b) с
постоянной M
δ
= max {1, sup
06t6t
δ
kG(t)k
L(B)
}. Лемма доказана.
Пусть D(Λ) обозначает множество тех элементов b ∈ B, для которых
существует предел
Λb = lim
t→+∞
G(t)b − b
t
.
Ясно, что множество D(Λ) является линейным подпространством про-
странства B и оператор Λ, определяемый этим равенством, есть линей-
ный оператор из D(Λ) в B. Оператор Λ называется инфинитезимальным
производящим оператором полугруппы G. Легко видеть, что оператор Λ
перестановочен с операторами G(t) на D(Λ).
Лемма 4.2. (a) Для каждого b ∈ B
lim
t→0+
1
t
t
Z
0
G(τ)b dτ = b.
(b) Для каждого b ∈ B, t > 0
t
Z
0
G(τ)b dτ ∈ D(Λ), Λ
t
Z
0
G(τ)b dτ = G(t)b − b.
(c) Для каждого b ∈ D(Λ), t > 0
t
Z
0
G(τ)Λb dτ = G(t)b − b.
(d) D(Λ) плотно в B.
§ 2. Полугруппы операторов и абстрактная задача Коши                          95


Так как t − kr ∈ [r, 2r), то, как было замечено выше, N (t − kr) 6 K.
Таким образом,
                     N (t)    kr    K ³      r´    K
               δ0 6        6 δ+       6 1−      δ+ .
                       t       t    t        t     t
Правая часть неравенства стремится к δ при t → ∞, что доказывает
утверждение (a) в силу произвольности δ > δ0 = inf N (t)/t.
                                                              t>0
   Если δ > δ0 , то существует tδ такое, что N (t) 6 δt при t > tδ или,
что равносильно, kG(t)kL(B) 6 eδt . Отсюда следует утверждение (b) с
постоянной Mδ = max { 1, sup kG(t)kL(B) }. Лемма доказана.
                              06t6tδ
   Пусть D(Λ) обозначает множество тех элементов b ∈ B, для которых
существует предел
                                  G(t)b − b
                        Λb = lim            .
                             t→+∞     t
Ясно, что множество D(Λ) является линейным подпространством про-
странства B и оператор Λ, определяемый этим равенством, есть линей-
ный оператор из D(Λ) в B. Оператор Λ называется инфинитезимальным
производящим оператором полугруппы G. Легко видеть, что оператор Λ
перестановочен с операторами G(t) на D(Λ).
   Лемма 4.2. (a) Для каждого b ∈ B
                                      Zt
                                  1
                              lim          G(τ )b dτ = b.
                             t→0+ t
                                      0

   (b) Для каждого b ∈ B, t > 0
           Zt                                   Zt
                G(τ )b dτ ∈ D(Λ),           Λ        G(τ )b dτ = G(t)b − b.
           0                                    0

   (c) Для каждого b ∈ D(Λ), t > 0
                         Zt
                              G(τ )Λb dτ = G(t)b − b.
                         0

   (d) D(Λ) плотно в B.

Страницы