Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 95 стр.

§ 2. Полугруппы операторов и абстрактная задача Коши                             97


что доказывает утверждение (c). Утверждение (d) является непосред-
ственным следствием (a) и (b).
    Пусть bn ∈ D(Λ), bn → b и Λbn → b0 в B. По (c) имеем
                                            Zt
                        G(t)bn − bn =            G(τ ) Λbn d τ.
                                             0

Переходя к пределу по n → ∞, получим
                                            Zt
                          G(t)b − b =            G(τ ) b0 dτ.
                                             0

Таким образом, по (a)
                                                 Zt
                     G(t)b − b        1
                 lim           = lim                  G(τ ) b0 d τ = b0 ,
                t→0+     t       t→0+ t
                                                 0

следовательно, b ∈ D(Λ) и Λb = b0 , что доказывает (e). Теорема полно-
стью доказана.
     Замечание 4.1. Последнее утверждение теоремы равносильно тому, что D(Λ) явля-
ется банаховым пространством относительно нормы kbkD(Λ) = kbkB + kΛbkB , вложенным в
пространство B.

   Следующая теорема касается разрешимости и единственности реше-
ния задачи Коши в банаховом пространстве.
     Теорема 4.1. Пусть Λ является инфинитезимальным производя-
щим оператором полугруппы G в банаховом пространстве B. Пусть
a ∈ D(Λ) и пусть f : [0, ∞) → B — непрерывно дифференцируе-
мая функция. Тогда существует единственная непрерывная функция
u : [0, ∞) → D(Λ), имеющая непрерывную производную из [0, ∞) → B,
такая, что

                  u0 (t) − Λu(t) = f (t) ∀ t > 0,           u(0) = a.         (2.1)

Более того, решение этой задачи дается формулой
                                        Zt
                      u(t) = G(t)a +         G(t − τ )f (τ )dτ.               (2.2)
                                        0