Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Полугрупповая характеристика пространства следов 107
Из этих соотношений и из равномерной ограниченности полугруппы G
следует, что
k(G(t)u − u)/tk
B
6
1
t
t
Z
0
kf
0
(τ)k
B
dτ +
M
t
t
Z
0
kh(τ)k
B
.
Применяя лемму 4.8, получим
∞
Z
0
t
(ν−1)p
kG(τ)u − uk
p
B
dτ 6
1
(1 − θ)
p
∞
Z
0
t
νp
(kf
0
(τ)k
B
+ Mkh(τ)k
B
)
p
dτ 6
6
2
p
(M + 1)
p
(1 − θ)
p
kt
ν
f
0
k
L
p
(0,∞;B)
+ kt
ν
Λfk
L
p
(0,∞;B)
6
2
p
(M + 1)
p
(1 − θ)
p
kfk
p
W
. (4.2)
Так как (4.2) выполнено для любой f ∈ W
u
, то
∞
Z
0
t
(ν−1)p
kG(τ)u − uk
p
B
dτ 6
µ
2M + 2
1 − θ
p
kuk
p
T
.
Далее, поскольку D(Λ) непрерывно вложено в пространство B, то по
теореме 4.2 имеем: kuk
B
6 kuk
T
. Следовательно, T непрерывно вложено
в T
0
и
kuk
T
0
6
µ
1 +
2M + 2
1 − θ
kuk
T
.
Обратно, предположим, что u ∈ T
0
. Пусть ϕ ∈ C
∞
[0, ∞) такая, что
ϕ(0) = 1, ϕ(t) = 0 при t > 1 и |ϕ
0
(t)| 6 K
1
при t > 0. Положим
f(t) = ϕ(t)g(t), где
g(t) =
1
t
t
Z
0
G(τ)udτ.
По лемме 4.2 (a) f(0) = lim
t→0+
ϕ(t)g(t). Поэтому для доказательства оцен-
ки
kuk
T
6 K
2
kuk
T
0
∀u ∈ T
достаточно показать, что f ∈ W и kfk
W
6 K
2
kuk
T
0
. Для этого, в свою
очередь, нужно доказать, что t
ν
g ∈ L
p
(0, 1; D(Λ)), t
ν
g
0
∈ L
p
(0, 1; B) и
соответствующие нормы этих функций ограничены величиной K
3
kuk
T
0
.
§ 4. Полугрупповая характеристика пространства следов                                    107


Из этих соотношений и из равномерной ограниченности полугруппы G
следует, что
                                         Zt                          Zt
                                     1                           M
            k(G(t)u − u)/tkB 6                kf 0 (τ )kB dτ +            kh(τ )kB .
                                     t                           t
                                         0                           0

Применяя лемму 4.8, получим
 Z∞                                               Z∞
                                     1
      t(ν−1)p kG(τ )u − ukpB dτ 6                      tνp (kf 0 (τ )kB + M kh(τ )kB )p dτ 6
                                  (1 − θ)p
 0                                                0

      2p (M + 1)p ν 0                                      2p (M + 1)p
 6             p
                 kt f k Lp (0,∞;B) + ktν
                                         Λf k Lp (0,∞;B) 6          p
                                                                       kf kpW . (4.2)
        (1 − θ)                                              (1 − θ)
Так как (4.2) выполнено для любой f ∈ Wu , то
                 Z∞                                     µ            ¶p
                                                            2M + 2
                      t(ν−1)p kG(τ )u − ukpB dτ 6                         kukpT .
                                                             1−θ
                 0

Далее, поскольку D(Λ) непрерывно вложено в пространство B, то по
теореме 4.2 имеем: kukB 6 kukT . Следовательно, T непрерывно вложено
в T0 и                       µ            ¶
                                   2M + 2
                     kukT 0 6 1 +           kukT .
                                    1−θ
     Обратно, предположим, что u ∈ T 0 . Пусть ϕ ∈ C ∞ [0, ∞) такая, что
ϕ(0) = 1, ϕ(t) = 0 при t > 1 и |ϕ0 (t)| 6 K1 при t > 0. Положим
f (t) = ϕ(t)g(t), где
                                 Zt
                               1
                        g(t) =      G(τ )udτ.
                               t
                                              0
По лемме 4.2 (a) f (0) = lim ϕ(t)g(t). Поэтому для доказательства оцен-
                         t→0+
ки
                       kukT 6 K2 kukT 0    ∀u ∈ T
достаточно показать, что f ∈ W и kf kW 6 K2 kukT 0 . Для этого, в свою
очередь, нужно доказать, что tν g ∈ Lp (0, 1; D(Λ)), tν g 0 ∈ Lp (0, 1; B) и
соответствующие нормы этих функций ограничены величиной K3 kukT 0 .

Страницы