Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Полугрупповая характеристика пространства следов 109
Следовательно, g ∈ W и kfk
W
6 K
5
kuk
T
0
, что завершает доказатель-
ство теоремы.
Далее дадим обобщение теоремы 4.3 в следующем смысле. Пусть
Λ
1
, Λ
2
, . . . , Λ
n
— конечное семейство инфинитезимальных производящих
операторов полугрупп G
1
, G
2
, . . . , G
n
на B, коммутирующих между со-
бой и равномерно ограниченных, то есть для 1 6 j , k 6 n, s, t > 0
kG
j
(t)k
L(B)
6 M
j
, G
j
(s)G
k
(t) = G
k
(t)G
j
(s).
Пусть B
n
= B ×B ×. . . ×B (n множителей) — декартово произведение,
являющееся банаховым пространством с нормой
k(b
1
, b
2
, . . . , b
n
)k
B
n
=
n
X
j=1
kb
j
k
B
.
Введем оператор Λ, определенный на D(Λ) =
n
T
j=1
D(Λ
j
), со значениями
в B
n
, полагая
Λu = (Λ
1
u, Λ
2
u, . . . , Λ
n
u).
Обобщая лемму 4.2, нетрудно показать, что Λ — замкнутый оператор с
плотной в B областью определения D(Λ), которая является банаховым
пространством относительно нормы
kuk
D(Λ)
= kuk
B
+ kΛuk
B
n
= kuk
B
+
n
X
j=1
kΛ
j
uk
B
.
Справедлива
Теорема 4.4. Если 0 < 1/p + ν < 1, 1 6 p < ∞, то пространство
следов T = T (p, ν; D(Λ), B) совпадает с пространством T
0
всех u ∈ B,
для которых конечна норма
kuk
T
0
=
µ
kuk
p
B
+
n
X
j=1
∞
Z
0
t
(ν−1)p
kG
j
(t)u − uk
p
B
dt
1/p
,
при этом нормы k · k
T
и k · k
T
0
эквивалентны.
Доказательство этой теоремы повторяет доказательство теоремы 4.3
с той лишь разницей, что здесь при доказательстве вложения T
0
⊂ T в
§ 4. Полугрупповая характеристика пространства следов                                        109


Следовательно, g ∈ W и kf kW 6 K5 kukT 0 , что завершает доказатель-
ство теоремы.
     Далее дадим обобщение теоремы 4.3 в следующем смысле. Пусть
Λ1 , Λ2 , . . . , Λn — конечное семейство инфинитезимальных производящих
операторов полугрупп G1 , G2 , . . . , Gn на B, коммутирующих между со-
бой и равномерно ограниченных, то есть для 1 6 j, k 6 n, s, t > 0

              kGj (t)kL(B) 6 Mj ,             Gj (s)Gk (t) = Gk (t)Gj (s).

Пусть B n = B × B × . . . × B (n множителей) — декартово произведение,
являющееся банаховым пространством с нормой
                                                          n
                                                          X
                      k(b1 , b2 , . . . , bn )kB n =            kbj kB .
                                                          j=1

                                                                  T
                                                                  n
Введем оператор Λ, определенный на D(Λ) =                               D(Λj ), со значениями
                                                                  j=1
в B n , полагая
                            Λu = (Λ1 u, Λ2 u, . . . , Λn u).
Обобщая лемму 4.2, нетрудно показать, что Λ — замкнутый оператор с
плотной в B областью определения D(Λ), которая является банаховым
пространством относительно нормы
                                                                   n
                                                                   X
             kukD(Λ) = kukB + kΛukB n = kukB +                             kΛj ukB .
                                                                    j=1

Справедлива
    Теорема 4.4. Если 0 < 1/p + ν < 1, 1 6 p < ∞, то пространство
следов T = T (p, ν; D(Λ), B) совпадает с пространством T 0 всех u ∈ B,
для которых конечна норма
                      µ               n Z
                                      X
                                          ∞                                       ¶1/p
           kukT 0 =       kukpB   +            t(ν−1)p
                                                         kGj (t)u −     ukpB dt          ,
                                      j=1 0

при этом нормы k · kT и k · kT 0 эквивалентны.
    Доказательство этой теоремы повторяет доказательство теоремы 4.3
с той лишь разницей, что здесь при доказательстве вложения T 0 ⊂ T в

Страницы