Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 6. Прямые и обратные теоремы о следах 119
прямой и обратной теорем вложения (смысл терминов будет ясен из
дальнейшего). Эти теоремы фактически являются следствиями утвер-
ждений, доказанных в предыдущих параграфах.
Пусть Ω = R
n
+
. Границу
∂Ω = {x ∈ R
n
| x
n
= 0} =
©
(x
0
, 0) | x
0
∈ R
n−1
ª
этого полупространства отождествляем, как обычно, с R
n−1
. Всюду да-
лее 1 < p < ∞. Пространство Соболева W
1
p
(R
n
+
) можно рассматривать
как пространство W (p, 0; W
1
p
(R
n−1
), L
p
(R
n−1
)). Через Υ обозначим опе-
ратор следа на ∂Ω. Ясно, что на гладких функциях Υu = u|
∂Ω
. По опре-
делению, оператор следа Υ является линейным непрерывным операто-
ром из W
1
p
(R
n
+
) на все пространство W
1−1/p
p
(∂Ω) = W
1−1/p
p
(R
n−1
), то есть
kΥuk
W
1−1/p
p
(∂Ω)
6 kuk
W
1
p
(R
n
+
)
. (6.1)
Это утверждение и есть прямая теорема вложения.
Для формулировки обратного утверждения заметим, что по опреде-
лению нормы в пространстве Соболева дробного порядка (см. (5.1)) для
любой функции v ∈ W
1−1/p
p
(∂Ω) найдется функция u ∈ W
1
p
(R
n
+
) такая,
что Υu = v и
kuk
1,p,R
n
+
6 ckvk
1−1/p,p,∂Ω
, (6.2)
где c > 0 — постоянная, независящая от u. Это вторая теорема о следах,
которая называется обратной теоремой вложения.
Если определить пространство следов с помощью полугрупп сдвигов
по переменным x
1
, x
2
, . . . , x
n−1
:
W
1−1/p
p
(∂Ω) = T (p, 0; D(Λ), L
p
(∂Ω)), Λ = (Λ
1
, . . . , Λ
n−1
), Λ
j
= ∂/∂x
j
,
то можно построить указанным при доказательстве теоремы 4.4 спосо-
бом ограниченный оператор продолжения Π : W
1−1/p
p
(∂Ω) → W
1
p
(R
n
+
).
Оператор Π является правым обратным к оператору следа Υ, то есть
Υ Π v = v для любой функции v ∈ W
1−1/p
p
(∂Ω). Таким образом, вместо
(6.2) имеет место более точный факт:
kΠvk
1,p,Ω
6 ckvk
1−1/p,p,∂Ω
и Υ Π v = v ∀v ∈ W
1−1/p
p
(∂Ω). (6.3)
§ 6. Прямые и обратные теоремы о следах                                        119


прямой и обратной теорем вложения (смысл терминов будет ясен из
дальнейшего). Эти теоремы фактически являются следствиями утвер-
ждений, доказанных в предыдущих параграфах.
               n
   Пусть Ω = R+  . Границу
                                   ©                     ª
           ∂Ω = {x ∈ Rn | xn = 0} = (x0 , 0) | x0 ∈ Rn−1

этого полупространства отождествляем, как обычно, с Rn−1 . Всюду да-
лее 1 < p < ∞. Пространство Соболева Wp1 (R+       n
                                                     ) можно рассматривать
как пространство W (p, 0; Wp1 (Rn−1 ), Lp (Rn−1 )). Через Υ обозначим опе-
ратор следа на ∂Ω. Ясно, что на гладких функциях Υu = u|∂Ω . По опре-
делению, оператор следа Υ является линейным непрерывным операто-
                                        1−1/p            1−1/p
ром из Wp1 (R+
             n
               ) на все пространство Wp       (∂Ω) = Wp        (Rn−1 ), то есть

                       kΥukWp1−1/p (∂Ω) 6 kukWp1 (R+n ) .                    (6.1)

Это утверждение и есть прямая теорема вложения.
   Для формулировки обратного утверждения заметим, что по опреде-
лению нормы в пространстве Соболева дробного порядка (см. (5.1)) для
                     1−1/p
любой функции v ∈ Wp       (∂Ω) найдется функция u ∈ Wp1 (R+
                                                           n
                                                             ) такая,
что Υu = v и
                      kuk1,p,R+n 6 ckvk1−1/p,p,∂Ω ,              (6.2)
где c > 0 — постоянная, независящая от u. Это вторая теорема о следах,
которая называется обратной теоремой вложения.
    Если определить пространство следов с помощью полугрупп сдвигов
по переменным x1 , x2 , . . . , xn−1 :

Wp1−1/p (∂Ω) = T (p, 0; D(Λ), Lp (∂Ω)),     Λ = (Λ1 , . . . , Λn−1 ), Λj = ∂/∂xj ,

то можно построить указанным при доказательстве теоремы 4.4 спосо-
                                                  1−1/p
бом ограниченный оператор продолжения Π : Wp            (∂Ω) → Wp1 (R+
                                                                     n
                                                                       ).
Оператор Π является правым обратным к оператору следа Υ, то есть
                                     1−1/p
Υ Π v = v для любой функции v ∈ Wp         (∂Ω). Таким образом, вместо
(6.2) имеет место более точный факт:

   kΠvk1,p,Ω 6 ckvk1−1/p,p,∂Ω    и    Υ Π v = v ∀v ∈ Wp1−1/p (∂Ω).           (6.3)

Страницы