Механика. Першенков П.П - 28 стр.

      Элементарная работа потенциальных сил при малом перемещении
 r
dr совершается за счет убыли энергии.
      Значение потенциальной энергии зависит от характера силового по-
ля. Например, для гравитационного поля Земли (при h R3)
                                   WП = mgh,                                        (4.5)
это энергия тела, поднятого над Землей на высоту h.
      Так как начало отсчета выбирается произвольно, то WП может в об-
щем случае принимать и отрицательные значения (например, WП на дне
шахты).
      П р и м е р . Рассмотрим свободное падение камня массой m, брошен-
ного в поле гравитации Земли из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5).
                                    Элементарная работа, совершаемая си-
                              лой тяжести при перемещении камня, равна:
                                         r uur
                                    dA = Fгр ⋅ dr = Fгр dS
                                                        14⋅24 α = Fгр ⋅ dh.
                                                           cos3
                                                                dh

                                      Полная работа на участке 1–2 находит-
                                ся как
                                             2      h2

                                        A = ∫ dA = ∫ Fгр ⋅ dh = Fгр ⋅ (h2 − h1 ),
                                             1      h1
          Рис. 4.5
                                где Fгр = mg – сила тяжести; тогда получаем:
                     A = mgh2 − mgh1 = mg (h2 − h1 ) = − mg Δh.                     (4.6)
      Из последнего выражения видно, что работа определяется только
положением начальной и конечной точек траектории тела.
      В общем случае потенциальной энергией механической системы на-
зывается величина, равная работе, которую совершают все действующие
на систему потенциальные силы при переводе системы из данного состоя-
ния в состояние, соответствующее ее нулевому состоянию.             r
      Пусть на материальную точку действует потенциальная сила F .
Элементарная работа, совершаемая этой силой, будет равна
                                 r uur
                            dA = F ⋅ dr = − dWП ,                (4.7)
откуда
                                   r   dW
                                   F =− П .
                                        dr
            r
       Если F и WП – функции трех переменных x, y и z, то выражение
(4.7) можно записать как


                                        28