Механика. Першенков П.П - 29 стр.

            r       r       r         ⎡ ∂W     ∂WП      ∂WП ⎤
            Fx dx + Fy dy + Fz dz = − ⎢ П dx +     dy +     dz ⎥ ,
                                      ⎣ ∂x      ∂y       ∂z    ⎦
где dx, dy, dz – элементарное приращение каждой координаты.
      Из последнего выражения следует, что если функция трех перемен-
ных (x, y, z), то можно записать следующие равенства:
                            ∂WП         ∂W         ∂W
                   Fx = −       ; Fy = − П ; Fz = − П ;
                             ∂x          ∂y         ∂z
                           ⎡                     ⎤
                      ur   ⎢                   r ⎥
                             ∂W r ∂WП r ∂WП ⎥
                      F = −⎢ П i +       j+    k .                   (4.8)
                              ∂x
                           ⎢ 1444   ∂y      ∂z ⎥
                           ⎢       424444     3⎥
                           ⎣       gradW
                                        П        ⎦
     Вектор, стоящий в уравнении (4.8), называется градиентом функции
WП, обозначается – grad WП.
     Последнее уравнение читается так: сила, действующая на матери-
альную точку в потенциальном поле, равна градиенту потенциальной
энергии, взятому с обратным знаком:
                        r             r
                        F = grad WП и F = – ∇ WП;
                      ∂ r ∂ r ∂ r
                 ∇= i +        j + k − оператор Набла.
                     ∂x     ∂y    ∂z
     Работа А12, совершаемая потенциальными силами при изменении
конфигурации системы, т.е. расположения отдельных ее частей относи-
тельно системы отсчета, не зависит от того, как происходит этот процесс,
имеет значение только начальное и конечное положение системы. Тогда
можно говорить о некоторой скалярной функции WП, определяющей по-
ложение данной системы:
                             A1−2 = WП (1) − WП (2),
dA = − dWП – это элементарная работа потенциальных сил при малом изме-
нении конфигурации системы или ее перемещении.
      П р и м е р . Найдем потенциальную энергию упруго деформирован-
ного тела (пружины). Известно, что сила упругости пропорциональна де-
формации x:
                                  Fупр = −kx ,
где k – коэффициент упругости; x – значение деформации; знак (–) указы-
вает, что Fупр направлена в сторону, противоположную деформации.
      Для преодоления силы упругости необходимо приложить силу:


                                      29