Механика. Першенков П.П - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

31
Пусть все точки за некоторый интервал времени совершают пере-
мещения
1
, ..., .
n
dx dx
Умножим обе части каждого уравнения на соответствующее пере-
мещение
i
dx
:
|||
1
11111
()
Vd
mdxFFdx
dt
=+
r
r
r
;
|||
2
22222
()
Vd
mdxFFdx
dt
=+
r
r
r
; (4.11)
………………………….
|||
()
n
nnnnn
Vd
mdxFFdx
dt
=+
r
r
r
.
И учитывая, что
ii
dx V dt
=
⋅
u
r
, получим
|||
11 1 1 1 1
()( ) 0VVmd F Fdx−+ =
rr
r
r
;
|||
22 2 2 2 2
()( ) 0VVmd FFdx−+ =
rr
r
r
;
……………………………….
|||
()( ) 0
nn n n n n
VVmd FFdx−+ =
rr
r
r
.
Сложим эти уравнения и, учитывая, что система замкнута, т.е. для
внешних сил справедливо равенство
|| || ||
12
... 0,
n
FF F++ =
rr r
получим:
|
11
0,
nn
ii i i i
ii
VVmd Fdx
==
−
=
∑∑
(4.12)
где
2
К
11
2
nn
ii
ii i
ii
V
VV
m
md d dW
==
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
– бесконечно малое приращение кинети-
ческой энергии;
|
1
n
ii
i
Fdx dA
=
−
=
∑
– бесконечно малая работа всех действую-
щих консервативных сил с обратным знаком, численно равна изменению
потенциальной энергии (
П
dA dW
−
=
).
Тогда уравнение (4.11) примет вид
КП
0dW dW
=
. (4.13)
Это уравнение показывает, что изменение механической энергии
системы равно нулю. 
    Пусть все точки за некоторый интервал времени совершают пере-
мещения dx1 , ..., dxn .
    Умножим обе части каждого уравнения на соответствующее пере-
мещение dxi :
                                       r
                                     dV1         r      r
                                  m1     dx1 = ( F1 | + F1 || )dx1 ;
                                     dt
                                       r
                                     dV2          r      r
                                  m2     dx2 = ( F2 | + F2 || )dx2 ;     (4.11)
                                     dt
                            ………………………….
                                   r
                                 dV             r       r
                            mn n dxn = ( Fn| + Fn|| )dxn .
                                 dt
                                ur
         И учитывая, что dxi = Vi ⋅ dt , получим
                                r r        r      r
                           m1 (V1dV1 ) − ( F1 | + F1 || )dx1 = 0 ;
                               r r          r      r
                          m2 (V2 dV2 ) − ( F2| + F2|| )dx2 = 0 ;
                                ……………………………….
                                     r r         r     r
                                mn (Vn dVn ) − ( Fn| + Fn|| )dxn = 0 .
     Сложим эти уравнения и, учитывая, что система замкнута, т.е. для
внешних сил справедливо равенство
                          r       r         r
                          F1 || + F2|| + ...Fn|| = 0,
получим:
                                      n             n

                                    ∑ miVi dVi − ∑ Fi|dxi = 0,
                                     i =1          i =1
                                                                         (4.12)

     n               n
                      ⎛ miVi 2 ⎞
где ∑ miVi dVi = ∑ d ⎜         ⎟ = dWК – бесконечно малое приращение кинети-
    i =1         i =1 ⎝ 2 ⎠
                          n
ческой энергии; −∑ Fi|dxi = dA – бесконечно малая работа всех действую-
                         i =1
щих консервативных сил с обратным знаком, численно равна изменению
потенциальной энергии ( −dA = dWП ).
     Тогда уравнение (4.11) примет вид
                                            dWК + dWП = 0 .              (4.13)
     Это уравнение показывает, что изменение механической энергии
системы равно нулю.


                                                  31

Страницы