Механика. Першенков П.П - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

81
Чтобы получить уравнение траектории точки, нужно исключить из
этих уравнений параметр
t. Из первого уравнения следует, что
cos ,
x
t
A
ω=
(9.7)
тогда с учетом, что
22
sin cos 1ttω+ ω=
, можно записать
2
2
sin 1 .
x
t
A
ω= − (9.8)
Преобразуем второе уравнение (9.6):
cos cos sin sin .
y
tt
B
=
ω⋅
ϕ
−ω⋅
ϕ
Подставим
sin и cos
tt
ω
ω
(9.7) и (9.8) и избавимся от корня:
2
2
cos 1 sin .
yx x
BA A
=
⋅
ϕ
−− ⋅
ϕ
Возведем обе части равенства в квадрат:
2
2
2
2
cos 1 sin .
xy x
AB A
⎛⎞
⎛⎞
⋅
ϕ
−=−⋅
ϕ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
После преобразования имеем
22
2
22
2cos sin.
xxy y
A
AB B
−
⋅
ϕ
+=
ϕ
(9.9)
Как известно из аналитической геометрии, полученное уравнение
является уравнением эллипса, ориентация и значение полуосей которого
относительно осей х и у зависит от амплитуд А и В и разности фаз ϕ. Ис-
следуем форму траектории в некоторых частных случаях.
1.
ϕ = 0. В этом случае уравнение примет вид
2
0
xy
AB
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
,
или
.
B
y
x
A
=
⋅
Это уравнение прямой, следовательно, в этом случае точка движется
по прямой (рис. 9.6).
2.
ϕ
=±π
. Уравнение траектории примет вид
2
0
xy
AB
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
, 
      Чтобы получить уравнение траектории точки, нужно исключить из
этих уравнений параметр t. Из первого уравнения следует, что
                                                  x
                                    cos ωt =        ,                 (9.7)
                                                  A
тогда с учетом, что sin 2 ωt + cos 2 ωt = 1 , можно записать
                                                    x2
                                 sin ωt = 1 −          .              (9.8)
                                                    A2
      Преобразуем второе уравнение (9.6):
                         y
                           = cos ωt ⋅ cos ϕ − sin ωt ⋅ sin ϕ.
                         B
      Подставим sin ωt и cos ωt (9.7) и (9.8) и избавимся от корня:

                         y x             x2
                          = ⋅ cos ϕ − 1 − 2 ⋅ sin ϕ.
                         B A             A
      Возведем обе части равенства в квадрат:
                                                                2
                                  y⎞ ⎛                     ⎞
                                      2
                     ⎛x                         x2
                     ⎜  ⋅ cos ϕ −   ⎟   = ⎜ 1 −    ⋅ sin ϕ ⎟ .
                     ⎝A           B ⎠ ⎜⎝        A2         ⎟
                                                           ⎠
      После преобразования имеем
                       x2     xy           y2
                          − 2    ⋅ cos ϕ +    = sin 2 ϕ.           (9.9)
                       A2     AB           B2
     Как известно из аналитической геометрии, полученное уравнение
является уравнением эллипса, ориентация и значение полуосей которого
относительно осей х и у зависит от амплитуд А и В и разности фаз ϕ. Ис-
следуем форму траектории в некоторых частных случаях.
     1. ϕ = 0. В этом случае уравнение примет вид
                                              2
                                  ⎛x y⎞
                                  ⎜ − ⎟ =0,
                                  ⎝ A B⎠
                                    B
                                  или y =
                                       ⋅ x.
                                     A
     Это уравнение прямой, следовательно, в этом случае точка движется
по прямой (рис. 9.6).
     2. ϕ = ±π . Уравнение траектории примет вид
                                              2
                                  ⎛ x y⎞
                                  ⎜ + ⎟ = 0,
                                  ⎝ A B⎠

                                         81

Страницы