Сопротивление материалов. Першина С.В. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Интеграл
∫
1
F
ydF представляет собой статический момент S
x
площади F
1
относительно нейтральной
оси x поперечного сечения балки. Следовательно,
)/(JbQS
xz
=
τ
.
По закону парности касательных напряжений напряжения τ
y
в точках поперечного сечения балки,
отстоящих на расстояние y
1
от нейтральной оси, равны (по абсолютной величине) τ
z
, т.е.
)/(
1
JbQS
xy
=
τ
.
Таким образом, величины касательных напряжений τ в поперечных сечениях балки и в сечениях ее
плоскостями, параллельными нейтральному слою, определяются по формуле
)/(JbQS
=
τ
, (7.22)
где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; S – статический момент (отно-
сительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от
уровня, на котором определяются касательные напряжения; J – момент инерции всего поперечного се-
чения относительно нейтральной оси; b – ширина поперечного сечения балки на том уровне, на котором
определяются касательные напряжения τ.
7.6 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
ПРИ ИЗГИБЕ
Для определения величины потенциальной энергии деформации, накапливающейся в балке при из-
гибе, воспользуемся формулой (3.29) удельной потенциальной энергии:
)].(2)[2/1(
323121
2
3
2
2
2
1
σσ+σσ+σσµ−σ+σ+σ= Eu
При изгибе в каждой точке балки возникает двухосное (плоское) напряженное состояние с напря-
жениями σ
1
= σ
max
, σ
3
= σ
min
и σ
2
= 0; следовательно,
).2)(2/1(
31
2
3
2
1
σµσ−σ+σ= Eu (7.23)
Выразим главные напряжения σ
1
= σ
max
, σ
3
= σ
min
через напряжения σ и τ в площадках, совпадаю-
щих с поперечным сечением балки
]}.)2/()2/[(2])2/[(2)2/(2){2/1(
222222
τ−σ−σµ−τ+σ+σ= Eu
Преобразуем это выражение:
./)1(2)2/(2/
22
EEu µ+τ+σ=
Учитывая, что
,/1/)1(2 GE
=
µ
+
получаем
).2/()2/(
22
GEu τ+σ= (7.24)
Формула (7.24) дает выражение удельной потенциальной энергии при прямом поперечном изгибе.
Подставим в выражение (7.24) значения σ и τ по формулам (7.12) и (7.22), получим
).2/()]2/([
2222222
bGJSQyEJMu +=
(7.25)
Потенциальная энергия, накапливающаяся в элементарном объеме dV = dFdz балки,
udFdzudV
=
;
потенциальная энергия на участке балки длиной dz (т.е. в объеме Fdz) определяется выражением
,
∫
=
F
udFdzdU
Подставим в него значение u, получим

Страницы