ВУЗ:
Составители:
Система уравнений в форме (9.1),(9.2) или (9.1),(9.3)
незамкнута. Её необходимо дополнить связями p(ρ) и F(ρ,v).
Например, часто встречается случай, когда F(ρ,v)≡0, а связь
давления и плотности состоит из уравнения состояния
вещества. Если рассматривается неизотермическое течение,
система должна быть дополнена уравнением энергобаланса.
Система уравнений (9.1),(9.2) нелинейна. Для её анализа
обычно прибегают к линеаризации
уравнений. Линеаризованные
уравнения имеют вид:
ρ
’
t
+ρ
0
v
’
x
+v
0
ρ
’
x
=0 (9.4)
v
’
t
+v
0
v
’
x
+c
2
/ρ
0
ρ
’
x
-(νv
’
x
)
’
x
=0 (9.5)
где массовых сил нет, связь плотности и давления имеет вид
p=c
2
ρ, где c - скорость звука.
Подстановка Фурье-компоненты e
γ
t+ikx
в систему (9.4)-
(9.5) приводит к дисперсионному соотношению:
(γ+ikv
0
)
2
+νk
2
(γ+ikv
0
)+c
2
k
2
=0, откуда
γ=-ikv
0
-νk
2
/2±(ν
2
k
4
/4-k
2
c
2
)
1/2
. (9.6)
При ν=0 γ оказывается чисто мнимой величиной. Эволюция
начальных данных происходит без затухания и роста каких-
либо гармоник. При ν>0 у γ появляется отрицательная
вещественная часть, что говорит о затухании.
Не останавливаясь подробно на анализе свойств уравнений
(9.1)-(9.2), отметим лишь, что и в случае c>v и в случае
v>c решение линеаризованной системы
(9.4)-(9.5) оказывается
устойчивым по начальным данным, а задача Коши для неё -
корректной.
Нелинейность системы уравнений (9.1)-(9.2) приводит к
тому, что она может иметь разрывные решения даже при
гладких начальных и краевых условиях. Вопросы численного
решения данной системы при наличии в ней разрывных решений
подробно рассмотрены во множестве пособий по численным
методам (см
. например [3],[7],[11],[12],[13]). В данной
работе они не освещаются.
п.2.Применяемые конечно-разностные схемы.
Разностные схемы для решения (9.1)-(9.2) строятся по
принципам, аналогичным построению разностных схем для
модельных уравнений, рассмотренным в §3. Подобно им,
вводятся понятия об аппроксимации, устойчивости,
монотонности и консервативности метода.
1.Явная схема с центральной разностью.
Рассмотрим схему
ρ
^
i
-ρ
i
τ
+
v
i+1
ρ
i+1
-v
i-1
ρ
i-1
2h
=0
v
^
i
-v
i
τ
+v
i
v
i+1
-v
i-1
2h
+
c
2
ρ
i
ρ
i+1
-ρ
i-1
2h
-ν
v
i+1
-2v
i
+v
i-1
h
2
=0
(9.7)
Используя оценки погрешности из §2 п.3, легко видеть, что
схема (9.7) аппроксимирует (9.1)-(9.2) с погрешностью
Система уравнений в форме (9.1),(9.2) или (9.1),(9.3)
незамкнута. Её необходимо дополнить связями p(ρ) и F(ρ,v).
Например, часто встречается случай, когда F(ρ,v)≡0, а связь
давления и плотности состоит из уравнения состояния
вещества. Если рассматривается неизотермическое течение,
система должна быть дополнена уравнением энергобаланса.
Система уравнений (9.1),(9.2) нелинейна. Для её анализа
обычно прибегают к линеаризации уравнений. Линеаризованные
уравнения имеют вид:
’ ’ ’
ρt+ρ0vx+v0ρx=0 (9.4)
’ 0 ’ 0 ’ ’ ’
vt+v vx+c /ρ ρx-(νvx)x=0
2
(9.5)
где массовых сил нет, связь плотности и давления имеет вид
p=c2ρ, где c - скорость звука.
Подстановка Фурье-компоненты eγt+ikx в систему (9.4)-
(9.5) приводит к дисперсионному соотношению:
(γ+ikv0)2+νk2(γ+ikv0)+c2k2=0, откуда
γ=-ikv0-νk2/2±(ν2k4/4-k2c2)1/2. (9.6)
При ν=0 γ оказывается чисто мнимой величиной. Эволюция
начальных данных происходит без затухания и роста каких-
либо гармоник. При ν>0 у γ появляется отрицательная
вещественная часть, что говорит о затухании.
Не останавливаясь подробно на анализе свойств уравнений
(9.1)-(9.2), отметим лишь, что и в случае c>v и в случае
v>c решение линеаризованной системы (9.4)-(9.5) оказывается
устойчивым по начальным данным, а задача Коши для неё -
корректной.
Нелинейность системы уравнений (9.1)-(9.2) приводит к
тому, что она может иметь разрывные решения даже при
гладких начальных и краевых условиях. Вопросы численного
решения данной системы при наличии в ней разрывных решений
подробно рассмотрены во множестве пособий по численным
методам (см. например [3],[7],[11],[12],[13]). В данной
работе они не освещаются.
п.2.Применяемые конечно-разностные схемы.
Разностные схемы для решения (9.1)-(9.2) строятся по
принципам, аналогичным построению разностных схем для
модельных уравнений, рассмотренным в §3. Подобно им,
вводятся понятия об аппроксимации, устойчивости,
монотонности и консервативности метода.
1.Явная схема с центральной разностью.
Рассмотрим схему
^
ρi-ρi vi+1ρi+1-vi-1ρi-1
+ 2h =0
τ
^ (9.7)
vi-vi vi+1-vi-1 c2 ρi+1-ρi-1 vi+1-2vi+vi-1
+vi 2h + 2h -ν h2 =0
τ ρi
Используя оценки погрешности из §2 п.3, легко видеть, что
схема (9.7) аппроксимирует (9.1)-(9.2) с погрешностью
