Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

O(h
2
+τ). Исследуем устойчивость данной схемы. Для этого
линеаризуем (9.7):
ρ
^
i
-ρ
i
τ
+v
i
0
ρ
i+1
-ρ
i-1
2h
+ρ
i
0
v
i+1
-v
i-1
2h
=0
v
^
i
-v
i
τ
+v
i
0
v
i+1
-v
i-1
2h
+
c
2
ρ
i
0
ρ
i+1
-ρ
i-1
2h
-ν
v
i+1
-2v
i
+v
i-1
h
2
=0
(9.8)
Вводя обозначения q
1
=vτ/h, q
2
=ντ/h
2
, q
3
=cτ/h, приходим к
выражению:
λ=1-2q
2
sin
2
ϕ
2
±2sin
ϕ
2
[q
2
2
sin
2
ϕ
2
-q
2
3
cos
2
ϕ
2
]
1/2
+iq
1
sinϕ
Ограничиваясь случаем q
3
=0 (случай без вязкости), получим,
что данная схема безусловно неустойчива. Таким образом,
явная схема с центральной разностью для расчётов
непригодна.
2.Неявная схема с центральной разностью.
Рассмотрим схему
ρ
^
i
-ρ
i
τ
+v
i
ρ
^
i+1
-ρ
^
i-1
2h
+ρ
i
v
^
i+1
-v
^
i-1
2h
=0
v
^
i
-v
i
τ
+v
i
v
^
i+1
-v
^
i-1
2h
+
c
2
ρ
i
ρ
^
i+1
-ρ
^
i-1
2h
-ν
v
^
i+1
-2v
^
i
+v
^
i-1
h
2
=0
(9.9)
Используя символическую запись, схему можно записать в
виде:
ρ
^
i
-ρ
i
τ
+v
i
Λ
2
ρ
^
i
+ρ
i
Λ
2
v
^
i
=0
v
^
i
-v
i
τ
+v
i
Λ
2
v
^
i
+
c
2
ρ
i
Λ
2
ρ
^
i
-νΛ
2
v
^
i
=0
(9.10)
Используя оценки погрешности из §2 п.3, легко видеть, что
схема (9.10) аппроксимирует (9.1)-(9.2) с погрешностью
O(h
2
+τ). Исследуем устойчивость данной схемы. Вводя
обозначения q
1
=vτ/h, q
2
=ντ/h
2
, q
3
=cτ/h, приходим к выражению
1
λ
=1+2q
2
sin
2
ϕ
2
±2sin
ϕ
2
[q
2
2
sin
2
ϕ
2
-q
2
3
cos
2
ϕ
2
]
1/2
+iq
1
sinϕ. При q
2
2
sin
2
ϕ
2
>q
2
3
cos
2
ϕ
2
справедлива оценка: 1+2q
2
sin
2
ϕ
2
±2sin
ϕ
2
[q
2
2
sin
2
ϕ
2
-q
2
3
cos
2
ϕ
2
]
1/2
≥1+2q
2
sin
2
ϕ
2
-2sin
ϕ
2
q
2
sin
ϕ
2
=1, так, что ⎜1/λ⎜
2
≥1. В обратном
случае значение корня оказывается мнимым и Re
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
λ
=1+2q
2
sin
2
ϕ
2
≥1. Таким образом, схема (9.10) безусловно устойчива.
3.Схема «квадрат» для уравнения Эйлера.
ρ
^
i
+ρ
^
i+1
-ρ
i
-ρ
i+1
τ
+
v
i
+v
i+1
2
Λ
+
(ρ
^
i
+ρ
i
)+
ρ
i
+ρ
i+1
2
Λ
+
(v
^
i
+v
i
)=0
(9.11) 
O(h2+τ). Исследуем устойчивость данной                 схемы.    Для    этого
линеаризуем (9.7):
^
ρi-ρi 0ρi+1-ρi-1 0vi+1-vi-1
     +vi 2h +ρi 2h =0
  τ
^                                                                (9.8)
vi-vi 0vi+1-vi-1 c2 ρi+1-ρi-1 vi+1-2vi+vi-1
     +vi 2h + 0        2h -ν        h2     =0
  τ              ρ  i

Вводя обозначения q1=vτ/h, q2=ντ/h2, q3=cτ/h, приходим к
выражению:
              ϕ         ϕ 2          ϕ 2    ϕ
λ=1-2q2sin22±2sin2[q2sin22-q3cos22]1/2+iq1sinϕ
Ограничиваясь случаем q3=0 (случай без вязкости), получим,
что данная схема безусловно неустойчива. Таким образом,
явная      схема        с     центральной        разностью     для    расчётов
непригодна.
2.Неявная схема с центральной разностью.
Рассмотрим схему
^
ρi-ρi    ^
         ρi+1-ρ ^        ^
                         vi+1-v^
                 i-1             i-1
      +vi 2h +ρi 2h =0
  τ
^        ^      ^       2 ^      ^     ^      ^ +v
                                                 ^                  (9.9)
vi-vi    vi+1-v   i-1 c    ρi+1-ρ  i-1 vi+1-2v i  i-1
      +vi 2h +                2h -ν          h2      =0
  τ                   ρi
Используя символическую запись, схему можно записать в
виде:
^
ρi-ρi
      +viΛ2^ρi+ρiΛ2^  vi=0
  τ
^                                                                   (9.10)
vi-vi      2^    c2 2^         ^
      +viΛ vi+ Λ ρi-νΛ2vi=0
  τ              ρi
Используя оценки погрешности из §2 п.3, легко видеть, что
схема (9.10) аппроксимирует (9.1)-(9.2) с погрешностью
O(h2+τ).       Исследуем          устойчивость        данной   схемы.    Вводя
                                                                              1
обозначения q1=vτ/h, q2=ντ/h2, q3=cτ/h, приходим к выражению
                                                                              λ
             ϕ         ϕ 2         ϕ 2     ϕ                          2    ϕ 2
=1+2q2sin22±2sin2[q2sin22-q3cos22]1/2+iq1sinϕ.                При    q2sin22>q3
     ϕ                                                 ϕ     ϕ 2      ϕ 2     ϕ
cos22    справедлива           оценка: 1+2q2sin22±2sin2[q2sin22-q3cos22
                  ϕ         ϕ        ϕ
]1/2≥1+2q2sin22-2sin2q2sin2=1, так, что ⎜1/λ⎜2≥1. В обратном
                                                                 1            ϕ
случае значение корня оказывается мнимым и Re⎛⎜ ⎞⎟=1+2q2sin22
                                                                ⎝λ⎠
≥1. Таким образом, схема (9.10) безусловно устойчива.
3.Схема «квадрат» для уравнения Эйлера.

^  ^ -ρ -ρ
ρi+ρ i+1   i i+1 vi+vi+1
                + 2 Λ+(ρ ^ +ρ )+ρi+ρi+1Λ (v
                                          ^ +v )=0
         τ                i  i     2    +  i  i

                                                                 (9.11)

Страницы