Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

дивергентный вид, то так обычно и поступают. Направление
аппроксимации плотности во втором уравнении берётся
противоположным.
ρ
^
i
-ρ
i
τ
+v
i
Λ
±
ρ
^
i
+ρ
i
Λ
±
v
^
i
=0
v
^
i
-v
i
τ
+v
i
Λ
±
v
^
i
+
c
2
ρ
i
Λ
m
ρ
^
i
-νΛ
2
v
^
i
=0
(9.14)
Вводя обозначения q
1
=vτ/h, q
2
=ντ/h
2
, q
3
=cτ/h, и полагая для
определённости v<0, получим:
1
λ
=1-2q
1
sin
2
ϕ
2
+iq
1
sinϕ+q
2
sin
2
ϕ
2
±sin
ϕ
2
[q
2
2
sin
2
ϕ
2
-q
2
3
]
1/2
. При
неотрицательном подкоренном выражении справедлива оценка
Re
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
λ
≥1-2q
1
sin
2
ϕ
2
+q
2
sin
2
ϕ
2
-q
2
sin
2
ϕ
2
=1-2q
1
sin
2
ϕ
2
≥1. В обратном
случае квадратный корень принимает чисто мнимое значение и
Re
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
λ
=1-2q
1
sin
2
ϕ
2
+q
2
sin
2
ϕ
2
≥1. Таким образом, при отрицательной
скорости схема (9.14) безусловно устойчива. Случай v>0
рассматривается аналогично.
Легко проверить устойчивость (9.10) и (9.14)
энергетическим методом. Для этого определим скалярное
произведение векторов w=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
ρ
v
в виде (w’,w”)=(ρ’,ρ”)+ε(v’,v”),
где (ρ’,ρ”) и (v’,v”) определены согласно (2.37), ε=ρ
02
/c
2
>0.
В случае схемы (9.10) (w,Aw)=(ρ,v
0
Λ
2
ρ+ρ
0
Λ
2
v)+
+ε(v,v
0
Λ
2
v+c
2
/ρ
0
Λ
2
ρ-νΛ
2
v)=v
0
(ρ,Λ
2
ρ)+εv
0
(v,Λ
2
v)-νε(v,Λ
2
v)+
+ρ
0
(ρ,Λ
2
v)+εc
2
/ρ
0
(v,Λ
2
ρ). Первые три слагаемых неотрицательны
в силу соответствующей знакоопределённости операторов Λ
2
и
Λ
2
. Последние два слагаемых приводятся к виду:
ρ
0
(ρ,Λ
2
v)+εc
2
/ρ
0
(v,Λ
2
ρ)=ρ
0
[(ρ,Λ
2
v)+(v,Λ
2
ρ)]=ρ
0
/(2h)*
*
Σ
i
[ρ
i
(v
i+1
-v
i-1
)+v
i
(ρ
i+1
-ρ
i-1
)]=ρ
0
(ρ
N
v
N-1
+ρ
N-1
v
N
-ρ
1
v
0
-ρ
0
v
1
)/2h=0.
(Возмущения полагаются равными нулю на границе области.)
При анализе схемы (9.14) рассмотрим случай v
0
≥0. Тогда
(w,Aw)=(ρ,v
0
Λ
-
ρ+ρ
0
Λ
-
v)+ε(v,v
0
Λ
-
v+c
2
/ρ
0
Λ
+
ρ-νΛ
2
v)=v
0
(ρ,Λ
-
ρ)+
+εv
0
(v,Λ
-
v)-νε(v,Λ
2
v)+ρ
0
(ρ,Λ
-
v)+εc
2
/ρ
0
(v,Λ
+
ρ). Первые три
слагаемых неотрицательны в силу принятого знака скорости и
соответствующей знакоопределённости операторов Λ
-
и Λ
2
.
Последние два слагаемых приводятся к виду:
ρ
0
(ρ,Λ
-
v)+εc
2
/ρ
0
(v,Λ
+
ρ)=ρ
0
[(ρ,Λ
-
v)+(v,Λ
+
ρ)]=ρ
0
/h
Σ
i
[ρ
i
(v
i
-v
i-1
)+
v
i
(ρ
i+1
-ρ
i
)]=ρ
0
/h(ρ
N
v
N-1
-ρ
1
v
0
)=0. Случай v
0
≤0 рассматривается
аналогично. Таким образом, в обеих случаях (w,Aw)≥0 и
неявные схемы (9.10) и (9.14) безусловно устойчивы. 
дивергентный вид, то так обычно и поступают. Направление
аппроксимации          плотности       во   втором    уравнении    берётся
противоположным.
^
ρi-ρi
       +viΛ±^ρi+ρiΛ±^ vi=0
   τ
^                 2
                                                               (9.14)
vi-vi            c
       +viΛ±^vi+ Λm^  ρi-νΛ2^ vi=0
   τ             ρi
Вводя обозначения q1=vτ/h, q2=ντ/h2, q3=cτ/h, и полагая для
определённости v<0, получим:
1              ϕ                    ϕ     ϕ 2     ϕ 2
  =1-2q1sin22+iq1sinϕ+q2sin22±sin2[q2sin22-q3]1/2.                     При
λ
неотрицательном подкоренном выражении справедлива оценка
     1              ϕ          ϕ       ϕ           ϕ
Re⎛⎜ ⎞⎟≥1-2q1sin22+q2sin22-q2sin22=1-2q1sin22≥1.            В     обратном
   ⎝λ⎠
случае квадратный корень принимает чисто мнимое значение и
     1              ϕ          ϕ
Re⎛⎜ ⎞⎟=1-2q1sin22+q2sin22≥1. Таким образом, при отрицательной
   ⎝λ⎠
скорости схема (9.14) безусловно устойчива. Случай v>0
рассматривается аналогично.
       Легко       проверить        устойчивость     (9.10)    и    (9.14)
энергетическим методом. Для этого определим скалярное
                                   ⎛ρ⎞
произведение векторов w=⎜v⎟ в виде (w’,w”)=(ρ’,ρ”)+ε(v’,v”),
                                   ⎝ ⎠
где (ρ’,ρ”) и (v’,v”) определены согласно (2.37), ε=ρ02/c2>0.
       В      случае         схемы      (9.10)     (w,Aw)=(ρ,v0Λ2ρ+ρ0Λ2v)+
+ε(v,v0Λ2v+c2/ρ0Λ2ρ-νΛ2v)=v0(ρ,Λ2ρ)+εv0(v,Λ2v)-νε(v,Λ2v)+
+ρ0(ρ,Λ2v)+εc2/ρ0(v,Λ2ρ). Первые три слагаемых неотрицательны
в силу соответствующей знакоопределённости операторов Λ2 и
Λ2.       Последние        два      слагаемых     приводятся    к    виду:
ρ (ρ,Λ v)+εc /ρ (v,Λ ρ)=ρ [(ρ,Λ v)+(v,Λ ρ)]=ρ /(2h)*
 0       2      2   0      2     0      2       2      0


 Σ
* [ρi(vi+1-vi-1)+vi(ρi+1-ρi-1)]=ρ0(ρNvN-1+ρN-1vN-ρ1v0-ρ0v1)/2h=0.
 i
(Возмущения полагаются равными нулю на границе области.)
     При анализе схемы (9.14) рассмотрим случай v0≥0. Тогда
(w,Aw)=(ρ,v0Λ-ρ+ρ0Λ-v)+ε(v,v0Λ-v+c2/ρ0Λ+ρ-νΛ2v)=v0(ρ,Λ-ρ)+
+εv0(v,Λ-v)-νε(v,Λ2v)+ρ0(ρ,Λ-v)+εc2/ρ0(v,Λ+ρ).     Первые  три
слагаемых неотрицательны в силу принятого знака скорости и
соответствующей знакоопределённости операторов Λ- и Λ2.
Последние два слагаемых приводятся к виду:
                                                      Σ
ρ0(ρ,Λ-v)+εc2/ρ0(v,Λ+ρ)=ρ0[(ρ,Λ-v)+(v,Λ+ρ)]=ρ0/h [ρi(vi-vi-1)+
                                                       i
vi(ρi+1-ρi)]=ρ /h(ρNvN-1-ρ1v0)=0. Случай v ≤0 рассматривается
              0                                  0

аналогично. Таким образом, в обеих случаях (w,Aw)≥0 и
неявные схемы (9.10) и (9.14) безусловно устойчивы.

Страницы